Hi alle zusammen mathematik kurvendiskussionen gebrochen rationaler funktionen

Hi alle zusammen. bei Mathematik und zwar bei Kurvendiskussionen gebrochen rationaler Funktionen.

Polstellen sind die Nullstellen des Nenners.
Beispiel:
f = 3x/
Im Nenner kannst du x ausklammern, dann siehst du alles.
f = 3x/x-4))
Polstellen von f liegen also bei x = 0 und x = 4.
Die senkrechten Asymptoten laufen senkrecht parrallel zur y-Achse durch die Polstellen.
Wenn du eine unechtgebrochen rationale Funktion hast, also, wenn der Grad des Zählers höher als der Grad des Nenners ist, musst du eine Polynomdivision durchführen.
Beispiel:
f = /
Polynomdivision:
: Dann halt einfach Polynomdivision durchführen, wir erhalten dann:
: = x+
ist der Rest der bei der PD rauskommt, alles war vor dem Rest steht, in unserem Fall ist das nur das x, ist der Asymptotenterm.
y = x, ist folglich die folglich die Gleichung der Asymptote.

Gleich das erste Beispiel.
f = x /
Schönen , Mo. Aber du befindest dich im Stande des Irrtums. x = 0 ist keine Polstelle; die kürzt sich nämlich raus. Du hast
f = 1 /
f =
Hausaufgabe: aus mittels Krankenhausregel verifizieren.
So. Und jetzt rede ich euch tüchtig ins Gewissen.
Ihr alle wisst: Wenn Zählergrad >= Nennergrad, machen wir Polynomdivision
Und was machen wir, wenn diese Bed. nicht erfüllt ist? ===> Teilbruchzerlegung Warum?
Überlegen wir mal, welche Vorteile PD hat. Der Mo hat es ja schon gesagt; PD spaltet den ganz rationalen Teil ab. Damit habt ihr schon mal die Asymptotik im Unendlichen; und ganz rationale Fkt. lassen sich leichter ableiten als diese gefickte Quotientenregel
Merkt euch: Die QR ist absolut tödlich; ich will die hier nie wieder sehen.
unterscheidet sich von vor allem durch die falsche Asymptotik. Hier wird ein Nenner zweiten Grades vor getäuscht. ableiten - das können wir gerade noch. Und jetzt stellt euch mal vor, ihr lasst die QR auf los, weil ihr zufällig vergessen habt, durch x zu kürzen. Die QR reißt euch immer weiter rein.
Nicht immer lassen sich die Wurzeln des Zählers so übersichtlich bestimmen wie hier. Bei der TZ kann euch das alles nie passieren.
Weiterhin benötigen wir alle Nullst. des Nenners. TZ ist aber robust; der Bruch kann ruhig in einer nicht gekürzten Form vor liegen analog Die Wurzeln des Zählers intressieren aber bei TZ nicht mehr. Das Verfahren kürzt alles automatisch, was zuviel ist.
TZ ist eine Reihenentwicklung nach den Nullst. des Nenners. Jeder Pol muss in seiner Ordnung berücksichtigt werden; wir haben hier meist ja sowieso nur den ersten Grad. Näheres findet ihr bei Wolfram. Also im Falle
x1 = 0 ; x2 = 4
f = x /
= A / x + B /
" Unn da stellermer ons janz domm; unne sagemer so. Mir han dat jar nit jemerkt, datt die Null ßu viel is. "
Wenn ihr diese Entwicklung richtig vor nehmt, habt ihr den Existenz-und Eindeutigkeitssatz auf eurer Seite. Wir bekommen ein gekoppeltes lin. System von zwei Gl. mit zwei Unb.
Jetzt stellt euch mal vor, wir hätten eine Million Pole. Im Ernst; Wolfram bietet euch da Matrizensysteme an - voll der Wahnsinn.
Wer kennt sie nicht, diese Frage? Könnte auch heute noch eine Entdeckung gemacht werden, die so einfach und so nützlich ist, dass selbst Schüler sie verstehen und Nutzen daraus ziehen können? Ja; hier das ==> Rotstein-Trager-Verfahren Zunächst ein Wort in eigener Sache.
Mein Kommilitone ' Hardy ' hatte ein Dissertationsthema - da stellte sich ein halbes Jahr später raus, dass es eine Berliner Gruppe bereits untersucht hatte. Meint Hardy
" Pech für mich; zeigt aber trotzdem, dass meine Ideen gut waren. "
Genau so ich. Hier kamen mal Fragen über die Asymptotik von GRF in der Umgebung von Polen. Und da fiel mir ein Algoritmus ein - ich fühlte mich wie Oskar. Heute weiß ich: Es war das RTV. Sag ich wie der Hardy; ich kann also echt was. Andern wär ja sowas nicht ein gefallen; einmal ganz abgesehen davon, dass meine Ideen die RT Arbeit weit hinter sich lassen.
Aber das hat ja auch sein Gutes - ganz besonders für euch. Stellt euch mal vor, ihr sagt zu eurem Lehrer, da gibts son Komiker im Internet, den ' Kaiser von China ' Der sagt, er hätt was raus gekriegt.
Und so geht ihr her
" Hr. Dr. Meyer; was wissen Sie über Rotstein-Trager? "
Das gibt euch ein Flair von Wissenschaftlichkeit; der Knabe muss jetzt Nachhilfe nehmen. Der kann nicht mehr sagen, sowas machen wir hier nicht.
Ihr alle wisst, dass wenn man ein elektr. Feld längs einer geschl. Kurve integriert - der Kürze halber werde ich immer ' Kreis ' sagen - dass dann Potenzialdifferenz = 0 raus kommt. Und wie ist es bei einem Magnetfeld?
(Max Zeichen; For

Also wir pieksen einen Strom durchflossenen Draht durch ein Blatt Papier; Stromstärke = I. Dies ist das erste Beispiel für ein Integral, welches zwischen Innen und Außen unterscheidet. Nach ==> Robert Wichard Pohl, wenn man das B-Feld einmal rings um den Kreis integriert, Kommt I raus - so fern sich der Draht innerhalb des Kreises auf hält. Sonst Null.
Und jetzt mache ich das, was man in der Uni als ' Steilkurs in Funktionentheorie ' bezeichnen würde. Ein Wissenskonzentrat ohne Beweise - um Rückmeldung, falls ihr noch was braucht.
Die FT befasst sich mit Funktionen, die auf der kompl. Ebene diffbar sind.
w : |C ==> |C
z ==> w
F := w /
F hat also einen einf. Pol in z0 - zu Mindest, so lange w in z0 nicht verschwindet, was im Folgenden still schweigend unterstellt sei.
Die Fkt. w in möge Integralkern von F heißen. Wir definieren das Residuum von F
Res F | z0 := INTEGRAL F dz
Es ist wieder ähnlich wie bei dem Magnetfeld. Liegt der Pol z0 außerhalb des Kreises, so verschwindet das Res. Liegt er innerhalb, so besagt die Cauchysche Integralformel
Res F | z0 = w
In Worten: Das Res ist gleich dem Wert des INTEGRALKERNS an der POLSTELLE.
Dies alles ist seit nunmehr 200 Jahren bekannt. Sollten die Aliens wirklich kommen - es ist kein Ruhmesblatt menschlicher Genialität, dass in den letzten 200 Jahren absolut niemand auf das RTV verfiel. So bald du einmal die CI als richtig unterstellst, ist der Rest elementar.
Wir legen einen Kreis um den Ursprung, der so eng sei, dass er in die Singularität x2 = 4 aus sperrt. Dann ist das Res von = A. Denn die Fkt. identisch = A stellt ja den Integralkern dar.
Und? Integralkern ist ja alles, ' was nicht singulär wird '
A = x / | 0
Das heißt, das Verfahren ' erkennt ' tatsächlich, dass der Pol im Ursprung in Wirklichkeit gar keinen Beitrag leistet. Es ist uns gelungen, die beiden Unb. A und B zu separieren. Analog B ; jetzt wird der Kreis um x2 gezogen, und der Ursprung bleibt aus gesperrt. Natürlich erwarten wir B = 1.
B = x / x | 4
ist ein bisschen sehr trivial.
Dieses Dings ist also das RTV. Capito?
Dein zweites Beispiel bietet uns schon Gelegenheit zu einer echten Kurvendiskussion Also nochmal: GRF werden nicht mit der QR abgeleitet, sondern mittels PD + TZ.
f =
x ³ + x
-- x ² - 1
ist Punkt symmetrisch. Die PD hat der Mo scho; TZ mache ich.
f = x + g
g = 2 x /
= A / + B
RTV sollte eigentlich im Kopf gehen:
A = 2 x / | 1
B = A
ist übrigens unmittelbarer Ausfluss der Punktsymmetrie.
f = x + 1 / + 1 /
Beschränken wir uns auf die rechte Halbebene x > 0 - Grobskizze. Du hast völlig Recht; um die Asymptotik müssen wir uns als Erstes Gedanken machen. Die legt nämlich bereits die Lage der Extrema und WP fest.
Wir kommen immer von Rechts; von - wirste gleich sehen warum. Asym ist die Winkel Halbierende; die kommt ebenfalls von Das Residuum unseres Pols x2 = 1 in ist positiv; bei Annäherung an den Pol von Rechts haut der Graf ab nach Wir erwarten ein Min
1 < x
Da der Pol von ungerader Ordnung ist, kommt die Kurve links wieder von Im Ursprung kommt offensichtlich wegen der Symmetrie eine Nullst. und ein WP.
Die Abl. von ist ein Klax. ICH habe meine Hausaufg. gemacht.
f ' = 1 - 1 / ² - 1 / ² = 0
² - ² - ²

^ 4 - 4 x ² - 1 = 0
ist eine biqu. Gl Im Gegentum zu euren chaotischen Lehrern habe ich ja aus der cartesischen Vorzeichenregel eine Kategorienlehre für BQG entwickelt. ist Kategorie
Vieta q < 0 ein Wurzelpärchen reell ; eines rein imag
Wir machen die Substitution
z := x ²
z ² - 4 z - 1 = 0 | MF
z1 = 2 - sqr = sqr - sqr < 0 ===> rein imag Pärchen
z2 = 2 + sqr ===> reelle Extrema 2.73.3d)
Mit 2. Abl; WP
f " = 1 / ³ + 1 / ³ = 0
³ = - ³ | ^ 1/3
1 + x = 1 - x ===> x