Erkennen von Funktionen: Eine anschauliche Anleitung zur Graphenanalyse

Der 🔑 zur Beurteilung, ob ein Graph eine Funktion darstellt, liegt in der eindeutigen Zuordnung von x-Werten zu y-Werten. Um das zu verstehen – betrachte zuerst die grundlegende Definition einer Funktion. In der Mathematik ist eine Funktion eine Beziehung die jedem elementaren x-Wert einen ebendies definierten y-Wert zuweist. Überall wo solch ein klarer Zusammenhang besteht, erfüllt die Kurve die Kriterien einer Funktion. Aber wie wissen wir das beim Blick auf einen Graphen? Eine visuelle Methode bietet sich hier an.

Um diese Einschätzung durchzuführen, benutze das sogenannte „Auf-die-verlängerte-Linie-Wegen“. Zeichne eine virtuelle Linie die genau zur y-Achse verläuft und an die x-Achse angelegt wird. Diese Linie sollte an jedem gegebenen Punkt x nur einmal die Graphenkurve schneiden. Wenn sie den Graphen an weiterhin als einem Punkt trifft, bedeutet das: Mehrere y-Werte sind einem x-Wert zugeordnet. Das impliziert – dass wir uns nicht mehr im Funktionsbereich befinden. Du kannst dir dies ebenfalls so vorstellen: Ein Graph darf niemals zurück zur x-Achse laufen.

Besonders anschaulich wird das bei spezifischen Formen ebenso wie seitlich verlaufenden Kreisen oder anderen geschlossenen Kurven. Diese sind in der Tat nicht als Funktionen darstellbar, weil sie eine Zuordnungverletzung aufweisen. Ein weiteres Beispiel sind Graphen die wie eine Parabel ⬇️ geöffnet sind: Wenn sie an der Spitze einen Punkt besitzen und seitlich abwärts verlaufen, erfüllen sie die Bedingungen einer Funktion – sie schneiden die x-Achse nur einmal pro x-Wert.

In deinem spezifischen Fall, also bei den Graphen die du angehängt hast, lässt sich eine Vielzahl von Graphen sofort ausschließen. Jedes Mal, wenn ein x-Wert mit mehreren y-Werten kategorisiert wird, verletzen sie die Grundregel der Funktionszuordnung. Graphen die an Punkten wie „c“ oder „e“ eindeutig mehrere zugeordnete Punkte besitzen, sind dadurch nicht als Funktionen darstellbar.

Die Kriterien zur Überprüfung sind recht einfach: Unbegrenzte x-Werte können auf einen einzelnen y-Wert folgen, allerdings das Gegenteil muss ausgeschlossen werden. Mehrfachnennungen in y sind also erlaubt jedoch einmalige Zuordnung in y zu einem bestimmten x muss garantiert sein. Durch das Anlegen eines Lineals senkrecht zur x-Achse kann die Überprüfung leicht erfolgen. Und nun zur praktischen Umsetzung deiner Untersuchung.

Du hast die Ergebnisse in deiner Lösung formuliert: ja | ja | nein | ja | nein | ja | nein | nein | ja | nein. Dadurch lässt sich klar ablesen welche Graphen Funktionen sind und welche nicht. Diese einfache Methode zieht sich durch alle Graphenanalysen.

Das Ergebnis wird dir helfen die entscheidenden Merkmale von Funktionen graphisch zu erkennen. Letztlich dient dieser Prozess dazu, das mathematische Grundverständnis zu vertiefen – Funktionen sind fundamental für die Mathematik und deren Anwendungen.