Probe der Pq-Formel bei Funktionen dritten Grades

Um die Probe der Pq-Formel bei Funktionen dritten Grades durchzuführen, müssen wir zunächst verstehen was mit "Funktion dritten Grades" gemeint ist. Eine Funktion dritten Grades hat die allgemeine Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d, obwohl dabei a, b, c und d Konstanten sind. Um die Nullstellen dieser Funktion zu berechnen, verwenden wir die Pq-Formel.

Die Pq-Formel lautet: x = -p/2 ± √((p/2)² - q), wobei p = b/a und q = c/a sind. Um diese Formel anzuwenden, muss die Funktion in der Form x³ + px² + qx + r = 0 vorliegen.

Angenommen, wir haben die Funktion f(x) = x³ - 2x² - 3x. Um die Probe durchzuführen, setzen wir zunächst die Lösungen der Pq-Formel in die Funktion ein und überprüfen, ob der Ausdruck Null ergibt.

Schritt 1: Nullstellen berechnen
Zuerst setzen wir die Funktion auf Null: f(x) = x³ - 2x² - 3x = 0. Wir können die Pq-Formel anwenden, indem wir p = -2/a und q = -3/a setzen. Da in diesem Fall a = 1 ist, haben wir p = -2 und q = -3.

Schritt 2: Lösungen berechnen
Wir setzen die Werte von p und q in die Pq-Formel ein: x = -(-2)/2 ± √((-2/2)² - (-3/1)). Das vereinfacht sich zu x = 1 ± √(1 - (-3)) = 1 ± √4 = 1 ± 2.

Schritt 3: Probe durchführen
Nun setzen wir die beiden Lösungen, x = 1 + 2 = 3 und x = 1-2 = -1, in die ursprüngliche Funktion f(x) ein und überprüfen, ob der Ausdruck Null ergibt:

f(3) = 3³ - 2(3)² - 3(3) = 27-18 - 9 = 0
f(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - 3(-1) = -1 - 2 + 3 = 0

Beide Ausdrücke ergeben Null was bedeutet, dass unsere Lösungen korrekt sind und die Probe der Pq-Formel erfolgreich ist.

Zusammenfassend ist die Probe der Pq-Formel bei Funktionen dritten Grades ein einfacher Prozess. Wir setzen die Lösungen der Pq-Formel in die ursprüngliche Funktion ein und überprüfen, ob der Ausdruck Null ergibt. Wenn ja – sind unsere Lösungen korrekt.