Die Mathematik birgt viele Herausforderungen. Besonders bei Funktionen höheren Grades. Der Fokus in diesem Artikel liegt auf der Berechnung von Extremstellen einer Funktion fünften Grades. Eine Funktion die einige von uns gefragt hat: Wie bestimmt man die Extremstellen einer Funktion wie f(x) = 1/5*x^5 - 5/3*x^3 + 4*x?
Um den verwirrten Schülern zu helfen » ist es wichtig « eine klare Struktur zu bieten. Zuerst müssen wir die Ableitungen der Funktion bestimmen. Das geschieht in drei Schritten. Der erste ist die Ableitung f'. Bei dieser Funktion ergibt sich: f'(x) = x^4 - 5*x^2 + 4. Es ist essentiell – diese Gleichung genauso viel mit Null zu setzen. Das finden wir; indem wir die Nullstellen der Ableitungsfunktion untersuchen.
Die Nullstellen besagen: Dass die Funktion an diesen Stellen Maxima oder Minima besitzen kann. Setzen wir f'(x) = 0; dann haben wir 4*x^4 - 15/3*x^2 + 4 = 0. Mit etwas Umformung und mithilfe der p-q-Formel oder durch Faktorisierung stößt man auf die Werte x
, x
, x
und x
. Dies sind: x
= -2; x
= -1; x
= 1; x
= 2. So weit, so gut – doch das allein reicht nicht aus.
Die zweite Ableitung f''(x) = 4*x^3 - 10*x gibt uns bereits die Anhaltspunkte um die Art des Extremums zu bestimmen. Hier ist das Verfahren entscheidend. Wenn f''(x) > 0, dann handelt es sich um ein Minimum. Immer im Kopf behalten – umgekehrt, wenn f''(x) < 0, gibt es ein Maximum. Bei f''(x) = 0 handelt es sich um einen Wendepunkt.
Gehen wir also weiter. Wir setzen die gefundenen Werte in f''(x) ein. Wenn zum Beispiel x = -1, ergibt f''(-1) = 4*(-1)^3 - 10*(-1) = 6, also ein lokales Minimum. Bei x = 1 ergibt sich f''(1) = 4*1 - 10 = -6, deshalb ein lokales Maximum an dieser Stelle. Aber wir sind noch nicht am Ende.
Um die absoluten Extrema zu finden prüfen wir ebenfalls die Werte der Funktion f an den kritischen Punkten. Die Werte sind entscheidend. An x = -2 beträgt der Funktionswert f(-2) = -1,066 und bei x = 1 ergibt sich f(1) = 2⸴53. Die Ermittlung dieser Werte ist nach wie vor von großer Bedeutung. Auch die Werte x = 2 und x = -1 spielen eine wesentliche Rolle dabei um die Lage der Extremstellen zu beurteilen.
Es gibt jedoch zusätzlich dazu zu beachten: die Wendepunkte. Dazu leiten wir ein drittes Mal ab. f'''(x) ergibt: f'''(x) = 12*x^2 - 10. Mittels dieser sieht man – dass wir neben den Extrempunkten auch die Wendepunkte ebendies analysieren sollten.
Was bringen uns dann all diese Rechenspiele? Es ermöglicht uns eine gezielte Untersuchung des Verhaltens der Funktion. Und das ist es – worum es in der Mathematik geht.
Zusammenfassend lässt sich sagen: Dass die Berechnung von Extremstellen einer Funktion 5. Grades kein Kapriolen im Zahlensalat erscheinen sollte. Mit der richtigen Herangehensweise · und auch den Anwendungen von verschiedenen Ableitungen und analytischem Denken · lassen sich diese Probleme lösen. Die Herausforderung im Lernen von Mathematik liegt oft nicht in der Komplexität der Aufgaben, allerdings in der Ansammlung und der Anwendung des erlernten Wissens.
Extremstellen einer Funktion 5. Grades: Ein Leitfaden für die Berechnung
Wie bestimmt man die Extremstellen einer Funktion 5. Grades?