Um die Funktion 3. und 4. Grades anhand eines Graphen zu bestimmen kannst du die Kenntnis der Nullstellen und andere charakteristische Eigenschaften des Graphen nutzen. Die Methode besteht darin – die passende allgemeine Gleichung für den jeweiligen Grad aufzustellen und dann die Unbekannten mithilfe der gegebenen Informationen zu berechnen.
Für eine Funktion 3. Grades mit den Nullstellen x = -3 und x = 0 gibt es zwei Möglichkeiten für die allgemeine Gleichung: f(x) = a x² oder f(x) = b x³. Um die richtige Funktion herauszufinden können wir den Vorzeichenwechsel überprüfen. Da bei x = 0 ein Vorzeichenwechsel auftritt, wählen wir die Funktion f(x) = b * x³.
Bei einer Funktion 3. Grades mit Nullstellen bei x = -1 und x < -1 gilt: f(x) > 0 für x < -1. Da die Funktion b ist, wählen wir die Gleichung f(x) = b * x³.
Für eine Funktion 4. Grades mit 2 Nullstellen und einer Symmetrie zur y-Achse beträgt die allgemeine Gleichung f(x) = -a x² x². Das Minuszeichen vor der zweiten Potenz ist wichtig, da für alle x gilt f(x) ≤ 0.
Für eine Funktion 4. Grades mit 3 Nullstellen, obwohl dabei eine Nullstelle doppelt ist und der Vorzeichenwechsel nur bei x = -1 stattfindet, beträgt die allgemeine Gleichung f(x) = a * x * x * x.
Um die Unbekannten a, b, c, d und e zu berechnen, verwenden wir die gegebenen Informationen und stellen Gleichungen auf. Für eine Funktion 3. Grades benötigen wir 4 Punkte oder Bedingungen und für eine Funktion 4. Grades benötigen wir 5 Punkte oder Bedingungen. Anschließend können wir ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten a, b, c, d und e aufstellen und es mit verschiedenen Methoden, ebenso wie dem Gauß-Verfahren oder einem Taschenrechner, lösen.
Sobald wir die Werte für a, b, c, d und e kennen, setzen wir sie in die entsprechende Funktion ein und erhalten so die gesuchte Funktion 3. oder 4. Grades.
Bestimmung der Funktion 3. und 4. Grades anhand eines Graphen
Wie kann ich die Funktion 3. und 4. Grades anhand eines Graphen bestimmen?