Bei der Zuordnung von Funktionen zu den jeweiligen Graphen ist es hilfreich die Nullstellen der Funktionen zu betrachten. Die Nullstellen einer Funktion sind diejenigen Werte von x für die welche Funktion den Wert 0 annimmt.
Um herauszufinden, ob eine Funktion eine bestimmte Nullstelle besitzt und welche Vielfachheit diese hat, kann man die Funktion in eine Lineafaktorzerlegung zerlegen. Eine Lineafaktorzerlegung besteht aus den Linearfaktoren die sich durch Auflösen der Klammern ergeben.
Anhand der Lineafaktorzerlegung kann man die Nullstellen und ihre jeweilige Vielfachheit ablesen. Zum Beispiel, wenn eine Funktion f = (x - 1)^2 gegeben ist, bedeutet dies, dass die Funktion eine einfache Nullstelle bei x = 1 und eine doppelte Nullstelle bei x = -2 hat.
Um die Zuordnung der Funktionen zu den Graphen vorzunehmen kann man die Informationen über die Nullstellen und ihre Vielfachheiten nutzen. Hierbei gilt:
- Eine einfache Nullstelle wird durch den Graphen geschnitten.
- Eine doppelte Nullstelle wird durch den Graphen berührt.
- Eine dreifache Nullstelle wird ähnlich wie durch den Graphen geschnitten.
- Eine k-fache Nullstelle mit gerader Zahl k wird durch den Graphen berührt.
- Eine k-fache Nullstelle mit ungerader Zahl k (>1) wird durch den Graphen geschnitten.
Indem man die Nullstellen der Funktionen betrachtet und ihre Vielfachheit analysiert, kann man die Zuordnung der Funktionen zu den Graphen vornehmen. In dem gegebenen Beispiel lässt sich die Zuordnung folgendermaßen festlegen:
- Funktion f gehört zum Graphen B
- Funktion g gehört zum Graphen D
- Funktion h gehört zum Graphen A
- Funktion k gehört zum Graphen C
Es ist empfehlenswert die Nullstellen der Funktionen zu überprüfen, da dies eine einfache Methode ist um die Zuordnung vorzunehmen. In diesem Beispiel wurde die Zuordnung anhand der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten erläutert.
Zuordnung von Funktionen zu Graphen aufgrund der Nullstellen
Wie kann man begründen, dass die Funktionen den jeweiligen Graphen zugeordnet werden können?