Um den Wert von a zu bestimmen, zu diesem Zweck die eingeschlossene Fläche den Inhalt 1/8 besitzt, müssen wir die Funktionen f = x und f = ax³ zunächst gleichsetzen und den Schnittpunkt berechnen.
Zuerst setzen wir die Funktionen gleich:
x = ax³
Anschließend bringen wir alle Termen auf eine Seite der Gleichung:
0 = ax³ - x
Um den Schnittpunkt zu finden, setzen wir die Gleichung genauso viel mit Null:
0 = ax³ - x
Die Nullstellen der Gleichung sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Funktionen. Diese Schnittpunkte dienen als Grenzen für das Integral mit dem wir die eingeschlossene Fläche berechnen können.
Um die Nullstellen zu finden, können wir die Gleichung weiter umformen:
x(ax² - 1) = 0
Wir erhalten zwei mögliche Lösungen:
x1 = 0
ax² - 1 = 0
Für x = 0 erhalten wir den Schnittpunkt, an dem sich die beiden Funktionen schneiden.
Für ax² - 1 = 0 lösen wir nach x auf:
ax² = 1
x² = 1/a
x = ± √(1/a)
Der Schnittpunkt liegt dadurch bei den x-Koordinaten x1 = 0 und x2 = ± √(1/a).
Um den Wert von a zu bestimmen, setzen wir die Obergrenze x = √(1/a) in die Funktion ein und berechnen die Fläche zwischen den beiden Funktionen:
A = ∫(0, √(1/a)) (ax³ - x) dx
Durch Integration erhalten wir:
A = 1/4ax^4 - 1/2x²
Setzen wir die Grenzwerte ein, erhalten wir:
1/8 = 1/4a(√(1/a))^4 - 1/2(√(1/a))^2
1/8 = 1/4a(1/a)^2 - 1/2(1/a)
1/8 = 1/4a^3 - 1/2a
Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite:
0 = 1/4a^3 - 1/2a - 1/8
0 = 2a^3 - 4a - 1
Um die Lösung zu finden, kann man verschiedene Methoden anwenden, ebenso wie zum Beispiel das Newton-Verfahren oder numerische Annäherungsverfahren.
Diese Berechnungen zeigen den Prozess zur Bestimmung des Wertes von a, damit die eingeschlossene Fläche den Inhalt 1/8 besitzt.
Berechnung der eingeschlossenen Fläche zweier Funktionen mit gegebenem Inhalt
Wie muss der Wert von a > 0 gewählt werden, damit die eingeschlossene Fläche zwischen den Funktionen f = x und f = ax³ den Inhalt 1/8 besitzt?