Maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Zaunumfang und Nebenbedingung

Um den maximalen Flächeninhalt zu berechnen, wenn ein Zaun mit einer bestimmten Länge eine rechteckige Fläche umschließt und eine Nebenbedingung gegeben ist, müssen wir verschiedene Schritte durchführen.

1. Formulierung der gegebenen Bedingungen:
Die Hauptbedingung besagt, dass die Fläche (A) des Rechtecks dem Produkt der Länge (x) und Breite (y) entspricht: A = x * y.
Die Nebenbedingung gibt den Umfang (U) des Rechtecks vor der aus der gegebenen Länge des Zauns (150m) und der Breite (y) und ebenfalls der doppelten Länge (2x) besteht: U = 150m = y + 2x.

2. Umstellen der Nebenbedingung:
Um die Nebenbedingung nach einer Variablen umzustellen, lösen wir sie nach y auf: y = 150m - 2x.

3. Erstellen der Zielfunktion:
Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt (A) der maximiert werden soll. Setzen wir die Hauptbedingung A = x y in die Nebenbedingung ein, erhalten wir: A = x (150m - 2x).

4. Ableitung der Zielfunktion:
Um den Maximalwert der Zielfunktion zu finden leiten wir sie nach x ab. Die Ableitung von A ergibt: A' = -4x + 150m.

5. Nullstellen der Ableitung:
Setzen wir die Ableitung genauso viel mit null und lösen nach x auf um die Nullstellen zu finden: -4x + 150m = 0.
Lösen dieser Gleichung ergibt: x = 37⸴5m.

6. Berechnung der Breite (y):
Setzen wir den Wert von x in die Nebenbedingung y = 150m - 2x ein: y = 150m - 2 * 37⸴5m = 150m - 75m = 75m.

7. Berechnung des maximalen Flächeninhalts (A):
Setzen wir die Werte von x und y in die Hauptbedingung A = x y ein: A = 37⸴5m 75m = 2812⸴5m².

Die maximale Fläche beträgt also 2812⸴5 Quadratmeter, wenn der Zaun mit einer Länge von 150 Metern eine rechteckige Fläche umschließt, bei der die Nebenbedingung erfüllt ist.
Die Sizze des Rechtecks kann identisch gezeichnet werden, obwohl dabei die Länge (x) 37⸴5m und die Breite (y) 75m beträgt.
Durch eine Überprüfung der Fläche mit leicht variierenden Werten für x und y kann man die Richtigkeit der Berechnung bestätigen.