Der maximalen Flächeninhalt zu finden, stellt eine spannende Herausforderung dar. Ein Zaun, dessen Umfang wir mit 150 Metern beschränken, umschließt eine rechteckige Fläche. Hierbei müssen wir einige Schritte befolgen um an unser Ziel zu gelangen.
Zunächst formulieren wir die Bedingungen—der Flächeninhalt (A) ist das Produkt aus Länge (x) und Breite (y). Mathematisch drückt sich dies aus wie A = x * y. Diese Hauptbedingung ist entscheidend. Die Nebenbedingung hingegen sagt uns ebenso wie die Länge des Zauns den Umfang des Rechtecks beeinflusst. Dafür gilt: U = 150m = y + 2x. Mit dieser Gleichung erstellen wir eine wichtige Verbindung zwischen den Variablen.
Die Umstellung der Nebenbedingung ist der nächste Schritt. Wir isolieren y – um sie in unsere Hauptbedingung einsetzen zu können. Die Berechnung führt uns zu y = 150m - 2x. An dieser Stelle beginnt die interessante Verbindung zwischen Konzept und Anwendung.
Eine Zielfunktion zu erstellen ist jetzt der nächste logische Schritt. Die Zuordnung lautet A = x * (150m - 2x). Das erlangte Ergebnis ist nun bereit für die Ableitung. Durch Ableiten finden wir A' was genauso viel mit -4x + 150m ist. Diese Expression ist ein 🔑 zu unserem maximalen Wert.
Um die Stelle zu finden an der unser Flächeninhalt maximal ist setzen wir die Ableitung gleich null. Das ergibt: -4x + 150m = 0. Durch Umformung erhalten wir nach Lösung: x = 37⸴5m. Plötzlich wird es greifbarer der Weg zum Ziel wird klarer.
Nun bleibt uns nur noch » die Breite y zu berechnen « was eine logische Folgerung darstellt. Um dies zu tun, setzen wir x in die Nebenbedingung ein: y = 150m - 2 * 37⸴5m = 75m. Wir haben nun alle Informationen zusammengeschnurrt.
Endlich der letzte Schritt ist die Berechnung des maximalen Flächeninhalts. Wir setzen die Werte in die Hauptbedingung ein: A = 37⸴5m * 75m teilt uns mit A = 2812⸴5m². Dieser Wert ist bedeutsam. Es zeigt uns die maximale Fläche die mit dem gegebenen Zaunumfang realisiert werden kann.
Es ist wichtig zu erwähnen: Dass die Ergebnisse konsequent überprüft werden sollten. Auch mit leichten Variationen in x und y könnte man die Richtigkeit unserer Berechnung erneut testen. In realistischer Hinsicht könnte sich die Situation erweitern, indem wir die Umweltfaktoren einbeziehen oder zusätzliche geometrische Formen berücksichtigen.
Somit dürfen wir festhalten, dass eine präzise und durchdachte Zaun-Planung zu einer optimalen Flächennutzung führt. Der Zaun und die Methode schaffen eine Grundlage für eine effiziente Flächengestaltung. Zudem kann sie Anreiz geben – weitere mathematische Situationen im Alltag durch das Verstehen von Fläche und Umfang zu optimieren.
Maximaler Flächeninhalt bei gegebenem Zaunumfang und Nebenbedingung
Wie berechnet man den maximalen Flächeninhalt einer rechteckigen Fläche bei gegebener Zaunlänge und Nebenbedingung?