Bestimmung von K für einen vorgegebenen Flächeninhalt mittels Integralrechnung

Ein völlig faszinierendes Thema aus der Welt der Mathematik die Integralrechnung – speziell wenn es darum geht, den Wert von K zu bestimmen. Wir halten also fest – der Graph der Funktion f = x^2 - kx steht im Zentrum. Stellt euch vor – wir wollen, dass dieser Graph eine Fläche von ebendies 36 Quadrat-Einheiten umfasst. Das ist keine einfache Aufgabe. Doch mit der Integralrechnung finden wir den entscheidenden Hinweis.

Der Flächeninhalt A den wir im Auge behalten möchten wird durch ein bestimmtes Integral beschrieben. Dieses Integral zeigt uns die Fläche zwischen einer Funktion und der x-Achse auf einem bestimmten Intervall. Hierbei müssen wir das Integral als einen wertvollen Freund sehen der uns durch die tiefsten Geheimnisse der Mathematik führt.

Doch bevor wir allzu euphorisch werden » ist es wichtig « die Stammfunktion von kx zu ziehen. Ich weiß es klingt banal – aber die Integration ist der 🔑 zu allem. Bei der Funktion x^2 haben wir (1/3)x^3 und für -kx erhalten wir (-1/2)kx^2. Mannigfaltig und gleichzeitig äußerst präzise. Dadurch kommt die gesuchte Stammfunktion F(x) zu stande: F(x) = (1/3)x^3 - (1/2)kx^2 + C. Hier ist C eine beliebige Integrationskonstante. Diese Konstante spielt in diesem Kontext jedoch eine untergeordnete Rolle.

Jetzt dreht sich alles um die Berechnung des Flächeninhalts A. Der Einsatz des bestimmten Integrals muss es richten. Wir setzen den Flächeninhalt A genauso viel mit dem bestimmten Integral der Funktion f zwischen den Nullstellen. Wir setzen dies auf A = 36. Die Gleichung zu formulieren – ist der erste Schritt zur Lösung. So präsentieren wir uns:

∫[0,k] (x^2 - kx) dx = 36.

In diesem Moment tritt die Stammfunktion in den Vordergrund; wir substituieren f durch F(x). Das wird dann:

∫[0,k] ((1/3)x^3 - (1/2)kx^2) dx = 36.

Der nächste Schritt? Natürlich, wir integrieren! Bei diesen Schritten finden wir – dass wir die Grenzen 0 und k einsetzen müssen. Nach dieser Integration erhalten wir:

(1/3)(k^3) - (1/2)(k^3) - (1/3)(0^3) + (1/2)(k^2)(0) = 36.

Das vereinfacht sich auf:

(1/3)(k^3) - (1/2)(k^3) = 36.

Was zu einem leichten Umstellen der Gleichung angewandt wird. Das Ergebnis, darauffolgend einiger Algebra, ergibt sich als folgt:

(1/6)(k^3) = 36.

Folglich heißt das, durch simples Multiplizieren erhalten wir:

k^3 = 216.

Die Umkehrung dieses Vorgangs führt uns zum Ziel. K = ∛216.

Und das Überraschende ist, das zurückzuführen auf… Ja genau, k = 6.

So wird unser gesuchtes K tatsächlich 6! Wenn sich der Graph der Funktion f = x^2 - kx also im Fluss mit der Flächeninhalt-Bemessung trifft, bleibt festzuhalten: Es ist die Integralrechnung die uns auf den richtigen Weg führt. Zusammengefasst die Methode zur Bestimmung von K besteht darin, den gegebenen Flächeninhalt mit dem bestimmten Integral gleichzusetzen und die entsprechenden Grenzen auf die Nullstellen zu setzen — mit einem klaren Ziel: K == 6. So rekonstruiert, zeigt sich, ebenso wie wunderbar Mathematik sein kann, nicht wahr?