Um K zu bestimmen, sodass der Graph der Funktion f = x^2 - kx eine Fläche von A einschließt, müssen wir das bestimmte Integral verwenden. Das bestimmte Integral gibt uns den Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse innerhalb eines bestimmten Intervalls.
Zuerst müssen wir die Stammfunktion von kx finden. Dazu integrieren wir die Funktion f nach x. Die Integration der Funktion x^2 ergibt (1/3)x^3 und die Integration von -kx ergibt (-1/2)kx^2. Die Stammfunktion von f ist dadurch F(x) = (1/3)x^3 - (1/2)kx^2 + C, obwohl dabei C eine Integrationskonstante ist.
Um den Wert von K zu bestimmen setzen wir den Flächeninhalt A genauso viel mit dem bestimmten Integral der Funktion f und setzen die Grenzen des Integrals auf die Nullstellen der Funktion. Der Flächeninhalt A beträgt 36, also lautet die Gleichung:
∫[0,k] (x^2 - kx) dx = 36
Um das Integral zu berechnen, substituieren wir die Funktion f mit ihrer Stammfunktion F(x):
∫[0,k] ((1/3)x^3 - (1/2)kx^2) dx = 36
Jetzt integrieren wir die Funktion nach x und wenden die Grenzen des Integrals an:
(1/3)(k^3) - (1/2)(k^2)(k) - (1/3)(0^3) + (1/2)(k^2)(0) = 36
Dies vereinfacht sich zu:
(1/3)(k^3) - (1/2)(k^3) = 36
Wir können nun die Gleichung auflösen und K bestimmen:
(1/6)(k^3) = 36
k^3 = 216
k = ∛216
k = 6
Somit ergibt sich K = 6, zu diesem Zweck der Graph der Funktion f = x^2 - kx eine Fläche von 36 einschließt.
Zusammenfassend kann man sagen » dass man K bestimmt « indem man den Flächeninhalt A mit dem bestimmten Integral der Funktion f gleichsetzt und die Grenzen des Integrals auf die Nullstellen der Funktion setzt. Durch Lösen der Gleichung erhält man den Wert von K. In diesem Fall beträgt K 6.
Bestimmung von K für einen vorgegebenen Flächeninhalt mittels Integralrechnung
Wie kann man K bestimmen, sodass der Graph der Funktion f = x^2 - kx eine Fläche mit dem vorgegebenen Flächeninhalt A einschließt?