Prädikat auf dem Kreuzprodukt zweier Mengen definieren - Ist das möglich?

In der Mathematik ist der Begriff des Prädikats essentiell. Prädikate spielen eine Schlüsselrolle in der Mengenlehre und der Relationstheorie. Auf dem Kreuzprodukt zweier Mengen kann man tatsächlich ein Prädikat definieren. Doch wie? Zunächst einmal müssen wir das Konzept des Kreuzprodukts verstehen. Es handelt sich um eine Menge geordneter Paare ´ gebildet aus Elementen zweier Mengen ` sagen wir A und B. Jedes Paar hat die Form (a, b), obwohl dabei a aus A und b aus B stammt.

Nun zur Definition eines Prädikats. Ein Prädikat P ist typischerweise eine einstellige Relation. Das bedeutet – es verknüpft ein Element der Grundmenge mit einer bestimmten Eigenschaft. Andererseits ist ein Prädikat Q oft eine zweistellige Relation. Das heißt – es verknüpft zwei Elemente miteinander. Wenn wir unser Universum U betrachten, das alle Personen und Orte umfasst, sieht das folgendermaßen aus.

Angenommen, wir haben U definiert als die Menge aller Kombinationen von (x, y), wobei x eine Person darstellt und y ein Ort. Wir könnten nun das Prädikat Q definieren als "x ist 22 Jahre alt". Dieses Prädikat zieht eine klare Verbindung zwischen der Person x und ihrer Eigenschaft. Historisch gesehen war das Verständnis von Relationen und Prädikaten jedoch nie so einfach.

Man muss beachten – die Formulierung von Prädikaten auf dieser Basis ist nicht ohne Herausforderungen. Wenn wir beispielsweise ein Prädikat P formulieren wollen ´ das sich auf die gesamte Menge U bezieht ` stehen wir schnell vor einem Problem. Prädikate sollten sich immer auf die geordneten Paare beziehen. Ein einfaches einstelliges Prädikat würde hier nicht ausreichen.

Im Allgemeinen gibt es allerdings keine grundsätzlichen Einschränkungen. Die Definition von Prädikaten über das Kreuzprodukt ist durchaus machbar. Geordnete Paare spielen hier eine entscheidende Rolle. Glieder im Kreuzprodukt benötigt man für die Definition von Relationen. Ein Prädikat P das ein geordnetes Paar betrachtet wird immer dann korrekt sein, wenn die Form der Relation eingehalten wird.

Zusammenfassend lässt sich festhalten: Die Möglichkeit Prädikate auf dem Kreuzprodukt zweier Mengen zu definieren besteht. Es ist jedoch fundamental zu verstehen: Dass die Prädikate auf geordnete Paare angewendet werden müssen. Praktisch gesehen erfordert ein einstelliges Prädikat nur ein geordnetes Paar als Eingabe. Bei einem zweistelligen Prädikat sieht es schon anders aus. Hier sind zwei geordnete Paare erforderlich.

Das Verständnis dieser Konzepte ist entscheidend für Weiterentwicklungen in der Relationstheorie. So wird ebenfalls deutlich; die Mathematik ist – jenseits der Relevanz von Zahlen – ein tiefes und strukturiertes Unterfangen. In einer Welt von Daten und Relationen bleibt die Mathematik ein unergründlicher Ozean, in dem die Entdeckungen nie enden.