Die Existenz einer Umkehrfunktion bei linearen Funktionen mit f=Mx+b für m≠n

Lineare Funktionen der Form f=Mx+b, obwohl dabei m≠n, besitzen eine Umkehrfunktion, da sie injektiv und surjektiv sind.

Um zu verstehen, warum lineare Funktionen mit f=Mx+b für m≠n eine Umkehrfunktion haben, müssen wir zunächst die Begriffe Injektivität und Surjektivität erklären. Eine Funktion ist injektiv – wenn verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet werden. Eine Funktion ist surjektiv; wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild in der Definitionsmenge hat.

In unserem Fall betrachten wir lineare Funktionen der Form f=Mx+b, wobei m≠n. Die Umkehrfunktion g von f wäre die Funktion, für die gilt fy)) = y. Um die Umkehrfunktion zu finden, stellen wir die Funktion f nach x um und lösen nach x auf:

f = Mx + b

Umstellen nach x:

x = (f - b) / M

Die Funktion für die Umkehrfunktion g ist also g = (f - b) / M.

Nun können wir sehen: Dass für alle Werte von M ungleich 0 die Umkehrfunktion definiert ist. Wenn M genauso viel mit 0 wäre ´ hätten wir ein Problem ` da durch 0 geteilt wird. In diesem Fall handelt es sich um eine Konstante, also f = C und die Umkehrfunktion wäre eine Senkrechte. Da die Eindeutigkeit verletzt wird – ist die Umkehrung einer Konstantenfunktion keine Funktion.

Im Allgemeinen hat eine Funktion eine Umkehrfunktion wenn jeder Funktionswert ebendies einmal angenommen wird. Dies ist der Fall für lineare Funktionen mit f=Mx+b für m≠n, da sie sowie injektiv als ebenfalls surjektiv sind. Jeder Funktionswert y wird genau einmal auf einen Funktionswert x abgebildet und umgekehrt.

Zusätzlich ist zu beachten, dass die Angabe von m und n in der Fragestellung nicht relevant ist, da sie nicht in der Funktionsgleichung vorkommen. Eine mögliche Interpretation könnte sein: Dass m und n den Steigungen der Funktionen entsprechen jedoch dies ist nicht eindeutig aus dem gegebenen Text ersichtlich.

Insgesamt können wir also festhalten, dass lineare Funktionen der Form f=Mx+b für m≠n eine Umkehrfunktion besitzen, da sie injektiv und surjektiv sind. Die Umkehrfunktion g kann mithilfe der Umstellung der Funktionsgleichung f nach x gefunden werden.