Eine differenzierbare Funktion ist eine mathematische Funktion, für die welche Ableitungsfunktion im gesamten Definitionsbereich definiert ist. Um eine Funktion als differenzierbar bezeichnen zu können muss sie gewisse Bedingungen erfüllen.
Eine Funktion heißt differenzierbar an einer Stelle, wenn ihre Ableitung an dieser Stelle existiert. Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an jedem Punkt an. Eine Funktion ist differenzierbar – wenn es an jedem Punkt der Funktion eine eindeutige Steigung gibt.
Die Ableitung einer Funktion f(x) wird oft mit f'(x) oder dy/dx bezeichnet. Die Ableitungsfunktion ist die Funktion die die Ableitungswerte der Funktion f(x) angibt. Eine Funktion ist differenzierbar – wenn ihre Ableitungsfunktion im gesamten Definitionsbereich definiert und stetig ist. Dies bedeutet; dass die Ableitungsfunktion für jeden Punkt im Definitionsbereich der Funktion existiert und keine Sprünge oder Lücken aufweist.
Ein Beispiel für eine Funktion die nicht differenzierbar ist ist die Betragsfunktion f(x) = |x|. An der Stelle x=0 ist die Ableitungsfunktion nicht definiert, da sich die Funktion in diesem Punkt an der x-Achse schneidet und keine eindeutige Steigung hat. Obwohl die Funktion an allen anderen Stellen differenzierbar ist, erfüllt sie nicht die Bedingungen für eine differenzierbare Funktion im gesamten Definitionsbereich.
Um eine Funktion als differenzierbar bezeichnen zu können muss sie also an allen Stellen ihres Definitionsbereichs eine eindeutige Steigung haben und die Ableitungsfunktion im gesamten Definitionsbereich definiert und stetig sein. Differenzierbare Funktionen sind in der Mathematik von großer Bedeutung da sie wichtige Konzepte wie Veränderungsraten Extremstellen und Kurvendiskussionen ermöglichen.
Was bedeutet differenzierbar?
Was ist eine differenzierbare Funktion und welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion differenzierbar genannt werden kann?