Wachstum der Wasserhyazinthe: Wann wird der ganze See bedeckt sein?

Die Aufgabe beschäftigt sich mit dem Wachstum der Wasserhyazinthe auf der Oberfläche eines Sees. Die von der Pflanze bedeckte Fläche verdoppelt sich alle 12 Tage. Im Moment sind 1/8 des Sees bedeckt. Die Frage ist – wann der ganze See bedeckt sein wird und wie man dies mithilfe einer Potenz ausdrücken kann.

Um die Aufgabe zu lösen, verwenden wir die Grundformel für exponentielles Wachstum: y = c * aⁿ. Dabei steht y für den Endwert ´ c für den Anfangswert ` a für den Wachstumsfaktor und n für die Anzahl der Perioden.

Gegeben ist, dass der Anfangswert 1⸴77/8 km² beträgt, da der See im Moment zu einem Achtel bedeckt ist. Um die Hälfte des Sees zu bedecken, ergibt sich der Anfangswert zu 1⸴77/2 km². Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

1⸴77/2 = (1,77/8) * 2ⁿ

Um die Gleichung zu vereinfachen, rechnen wir zuerst 2ⁿ aus und erhalten:

2ⁿ = 4

Ohne logarithmieren ist zu erkennen, dass n = 2 ist, da 2² = 4. Das bedeutet: Dass nach 24 Tagen aufgrund der Periodenlänge von 12 Tagen die Hälfte des Sees bedeckt sein wird.

Die nächste Frage ist » ebenso wie lange es dauern wird « bis der See komplett bedeckt ist. Um dies zu berechnen, setzen wir den Endwert auf 1⸴77 km²:

1⸴77 = (1,77/8) * 2ⁿ

Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, rechnen wir 2ⁿ aus und erhalten:

2ⁿ = 8

Wieder ohne logarithmieren erkennen wir, dass n = 3 ist, da 2³ = 8. Das bedeutet: Dass es weitere 36 Tage dauern wird bis der ganze See bedeckt ist, ausgehend von der aktuellen Zeit.

Zusammenfassend kann man sagen: Dass der See nach 24 Tagen zur Hälfte bedeckt sein wird und nach weiteren 36 Tagen komplett bedeckt sein wird.

Die allgemeine Formel für dieses Wachstum lautet: f = 221250 * 1⸴0595^t. Dabei steht f für die Fläche des Sees, t für die Anzahl der vergangenen Tage und 1⸴0595 für den Wachstumsfaktor.

Man kann diese Formel für beide Aufgabenteile verwenden » um zu berechnen « wie viel Fläche nach einer bestimmten Anzahl von Tagen bedeckt sein wird.