a) Um eine rationale Zahl zwischen den beiden irrationalen Zahlen 3⸴257049719167 und 3⸴257049719184 zu finden, können wir den Kehrwert einer endlichen Dezimalzahl nehmen die dazwischen liegt. Wir wählen eine Dezimalzahl die welche Eigenschaft hat: Dass ihre Dezimalstellenkette abbricht. Der Kehrwert dieser Zahl ist dann eine rationale Zahl. In diesem Fall wählen wir die Dezimalzahl 0․307026323274 die dazwischen liegt.
Um den Kehrwert zu berechnen wandeln wir die Dezimalzahl in einen Bruch um. Dabei verschieben wir das Komma um n Stellen ➡️ und setzen den Bruch in den Nenner des Bruchs. In diesem Fall verschieben wir das Komma um 12 Stellen nach rechts:
0․307026323274 = 307․026.323.274 / 1․000.000.000.000
Der Kehrwert dieses Bruchs ist dann:
1․000.000.000.000 / 307․026.323.274
Dieser Bruch besteht aus ganzen Zahlen und ist deshalb eine rationale Zahl. Das Ergebnis ist 3․2570497191785356 was eine rationale Zahl ist die zwischen den beiden gegebenen irrationalen Zahlen liegt.
b) Um herauszufinden, ob die Wurzel aus 5059⸴4769 irrational ist, betrachten wir den Ausdruck √5059,4769.
Zunächst können wir den Ausdruck √5059,4769 als Bruch ausdrücken, indem wir den Ausdruck über einen gemeinsamen Nenner bringen:
5059⸴4769 = 50594769 / 10․000
Die Wurzel aus 10․000 ist 100. Daher können wir den Ausdruck √5059,4769 schreiben als:
√ 5059⸴4769 = √50594769 / 10․000 = √50594769 / √ 10․000 = √50594769 / 100
Nun betrachten wir den Ausdruck √50594769. Wenn wir die Wurzel aus 50594769 ziehen erhalten wir die ganze Zahl 7113.
Da sich √5059,4769 als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt, handelt es sich um eine rationale Zahl. Das Ergebnis ist 71⸴13 was eine rationale Zahl ist. Daher ist die Wurzel aus 5059⸴4769 eine rationale Zahl.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die rationale Zahl 3․2570497191785356 zwischen den beiden irrationalen Zahlen 3⸴257049719167 und 3⸴257049719184 liegt. Die Wurzel aus 5059⸴4769 ist ähnlich wie rational, da sie als Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden kann.
Rationale und irrationale Zahlen - Eine Mathe-Denkaufgabe
Welche rationale Zahl liegt zwischen den beiden irrationalen Zahlen 3,257049719167 und 3,257049719184? Ist die Wurzel aus 5059,4769 irrational?