Beim Gauß-Algorithmus ist es erlaubt die Spalten einer Matrix zu tauschen um den weiteren Verlauf des Algorithmus zu erleichtern. Dabei wird vor dem Tausch oft ein -1 hinzugeschrieben. Diese Regel ermöglicht es das Vorzeichen der Determinante zu erhalten und die Berechnungen zu vereinfachen.
Um die Regel für den Spaltentausch beim Gauß-Algorithmus zu verstehen, muss man zunächst einige grundlegende Konzepte verstehen. Eine Matrix M wird durch ihre Einträge m_i,j definiert, obwohl dabei i die Zeilennummer und j die Spaltennummer ist. Eine Permutation auf n Elementen kann man als eine Vertauschung von Elementen betrachten. Dabei gibt es positive und negative Permutationen je nachdem ob eine gerade oder ungerade Anzahl von Vertauschungen benötigt wird um die ursprüngliche Reihenfolge wiederherzustellen.
Die Determinante einer Matrix wird durch die Summe aller Produkte der Einträge gebildet, wobei jedes Produkt mit einem Vorzeichen (-1 oder +1) multipliziert wird, das von der Permutation abhängt. Die Determinante einer Matrix M wird also mit der Formel ∑(sign * m_i,σ(i)) berechnet, wobei σ eine Permutation ist und sign das Vorzeichen der Permutation darstellt.
Wenn beim Gauß-Algorithmus zwei Spalten getauscht werden, ändert sich die Permutation und dadurch das Vorzeichen der Determinante. Wird dabei eine positive Permutation in eine negative umgewandelt oder umgekehrt, wird ein -1 hinzugeschrieben. Dadurch kann das Vorzeichen vor die Determinante gezogen werden und die Berechnungen werden vereinfacht.
Passt auf : Dass diese Regel nur den Wert der Determinante betrifft und keinen Einfluss auf die Lösungen des Gleichungssystems hat, da sie nur die Vorzeichen der Determinante invertiert.
Um dies besser zu verstehen, kann man eine 2x2-Matrix oder eine 3x3-Matrix als Beispiel betrachten und den Gauß-Algorithmus durchführen. Man wird feststellen – dass die Determinante ebendies den erwarteten Wert liefert. Die Regel für den Spaltentausch ermöglicht es also die Berechnungen zu vereinfachen und das Vorzeichen der Determinante beizubehalten.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Spaltentausch beim Gauß-Algorithmus erlaubt ist und die Regel mit dem hinzugeschriebenen -1 ermöglicht, das Vorzeichen der Determinante beizubehalten. Dies vereinfacht die Berechnungen und hat keinen Einfluss auf die Lösungen des Gleichungssystems.
Die Regel für den Spaltentausch mit dem Gauß-Algorithmus
Wie funktioniert der Spaltentausch mit dem Gauß-Algorithmus und welche Regel ermöglicht dabei die Verwendung von -1?