Die Aussage "In Summen kürzen nur die Dummen" ist ein bekanntes Sprichwort in der Mathematik. Es soll darauf hinweisen – dass man in Summen eigentlich nicht kürzen darf. Jedoch gibt es Ausnahmen; bei denen das Kürzen in Summen erlaubt ist. Um diese Ausnahmen zu verstehen ´ ist es wichtig ` den Unterschied zwischen Summen und Produkten zu kennen.
In der Mathematik gibt es verschiedene Rechenoperationen wie Addition » Subtraktion « Multiplikation und Division. Wenn zwei Zahlen addiert oder subtrahiert werden spricht man von einer Summe. Wenn zwei Zahlen multipliziert oder dividiert werden, spricht man von einem Produkt. Das Kürzen ist eine Rechenregel die normalerweise nur auf Produkte angewendet werden darf.
Beim Kürzen wird der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner einer Bruchzahl gesucht und durch diesen Teiler werden beide Teile des Bruchs gekürzt. Beispielsweise kann man den Bruch 4/8 kürzen, indem man den gemeinsamen Teiler 4 findet und sowie den Zähler als ebenfalls den Nenner des Bruchs durch 4 teilt. Man erhält dann den gekürzten Bruch 1/2.
Bei Summen ist das Kürzen normalerweise nicht erlaubt da hier kein gemeinsamer Teiler gesucht werden kann. Jedoch gibt es Ausnahmen – bei denen das Kürzen in Summen erlaubt ist. Das passiert; wenn in der Summe ein Faktor ausgeklammert werden kann.
Wenn man zum Beispiel den Ausdruck (x^2 + 2x - 5x) / x betrachtet, kann man den Faktor x ausklammern und erhält x * (x + 2 - 5). Hier wird sichtbar – dass man in der Summe tatsächlich nur einen Faktor kürzt und nicht die gesamte Summe. Der Faktor x wird im Zähler und im Nenner gekürzt und man erhält (x + 2 - 5).
Man kann also sagen: Dass das Kürzen in Summen nur dann erlaubt ist wenn ein Faktor aus der Summe ausgeklammert werden kann und dieser Faktor im Nenner oder einem anderen ausklammerbaren Faktor im Nenner enthalten ist.
Es ist wichtig » diese Ausnahmen zu beachten « da das Kürzen in Summen sonst in der Regel nicht zulässig ist. Summen sollten deshalb normalerweise nicht gekürzt werden um mathematische Fehler zu vermeiden. Das Sprichwort "In Summen kürzen nur die Dummen" soll die Regel verdeutlichen, dass das Kürzen in Summen normalerweise nicht erlaubt ist um Missverständnisse und Fehler zu vermeiden.
Warum darf man in Summen kürzen?
Warum wird in mathematischen Ausdrücken oft gesagt, dass man in Summen nicht kürzen darf, obwohl man es doch tut? Wie funktioniert das Kürzen in Summen?