Bestimmung kerns matrix
wenn ich den Kern einer Matrix bestimmen will, wende ich den Gaußalgorithmus an und forme schrittweise um bis zur reduzierten Zeilenstufenform - soweit alles klar.
Dann kann ich aus dieser "Endmatrix" die Vektoren ablesen, für die das Gleichungssystem 0 ergibt - auch klar.
Aber warum besteht bei der Matrix A der Kern aus zwei Vektoren und nicht nur aus einem wie bei der Matrix B?
Bei A hätte ich lediglich den Vektor als Kern definiert - erfüllt er doch die Bedingungen für das Gleichungssystem.
Was unterscheidet die Matrix A von der Matrix B, dass ihr Kern aus 2 Vektoren besteht?
Di
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Bestimmung des Kerns einer Matrix.
Die Anzahl der Vektoren im Kern der Matrix hängt von der Anzahl der Pivot-Positionen in der Treppennormalform ab. Matrix B hat 3 Pivot-Positionen bei 4 Zeilen und Spalten, deshalb besteht der Kern lediglich aus einem Vektor und dessen Vielfachen.
Matrix A hat 2 Pivot-Positionen bei 4 Zeilen und Spalten und deswegen besteht der Kern aus zwei Vektoren und all deren Linearkombinationen. Einfach mal bei Matrix A ausprobieren, dann wirst du sehen, dass das tatsächlich stimmt.
Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden.
- =
mal ganz einfach gesprochen.
Die Matrix C = sehe nach Gauß-Alg. wie folgt aus
1 0 2 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
D.h. 5 Zeilen, 3 Pivotelemente, also besteht der Kern aus 5 - 3 = 2 Vektoren.
Wäre C =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
so wäre der Kern der Nullvektor?
Genau. Ich glaub jetzt hast du es wirklich verstanden.
Zähl die Pivot-Positionen und dann hast du auch schnell die lösung
Eine schlichte, aber ergreifende Wahrheit.
DER KERN EINER MATRIX IST IHR EIGENRAUM ZUM EIGENWERT NULL.
Hermitesche Matrizen kannst du ruhig auf dem PC diagonalisieren. Die Dimension des Kerns ist dann einfach, wie oft Null
in der Diagonale kommt.