Trick zur Bestimmung des Verhaltens im Unendlichen von quadratischen Funktionen

Bei einer quadratischen Funktion kann das Verhalten im Unendlichen anhand des Vorzeichens des Koeffizienten der höchsten Potenz erkannt werden.

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion hat die Form f = ax² + bx + c. Dabei ist a der Koeffizient der höchsten Potenz x² b der Koeffizient der linearen Potenz x und c ein dauerhafter Wert.

Wenn der Koeffizient a < 0 ist, geht die Funktion f in beide Richtungen gegen -∞. Das bedeutet, dass die Funktionswerte für sehr große positive und negative x-Werte immer kleiner werden und gegen negative Unendlichkeit streben.

Wenn der Koeffizient a > 0 ist, geht die Funktion f in beide Richtungen gegen +∞. Das bedeutet: Die Funktionswerte für sehr große positive und negative x-Werte immer größer werden und gegen positive Unendlichkeit streben.

Diese Regel gilt ebenfalls für Polynome. Ein Polynom g kann dargestellt werden als g = a x^n + b x^(n-1) + ... + c * x + d. Hierbei ist n der höchste Exponent und a der Koeffizient von x^n.

Das Verhalten im Unendlichen kann abhängig von der Parität von n und dem Vorzeichen von a bestimmt werden:

- Wenn n gerade ist und a > 0, geht f auf beiden Seiten gegen +∞.
- Wenn n gerade ist und a < 0, geht f auf beiden Seiten gegen -∞.
- Wenn n ungerade ist und a > 0, geht f "links" gegen -∞ und "rechts" gegen +∞.
- Wenn n ungerade ist und a < 0, geht f "links" gegen +∞ und "rechts" gegen -∞.

Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen betrachtet man also den dominierenden Summanden der Funktion. Dieser ist abhängig von der höchsten Potenz des Polynoms. Je höher der Exponent desto schneller wächst der entsprechende Term.

Ein Beispiel: f = x² − 100x
Auf den ersten Blick könnte man meinen, dass die Funktionswerte für x -> ∞ immer kleiner werden und gegen -∞ gehen. Allerdings wächst das Quadrat x² viel schneller als der Term -100x. Daher beherrscht der Term x² das Verhalten im Unendlichen und die Funktion geht auf beiden Seiten gegen +∞.