Lösung einer quadratischen Gleichung: 9x^2 + 16x = 0

Eine quadratische Gleichung – oft ist sie der erste Schritt in die Welt der Algebra. Besonders anschaulich wird dies am Beispiel 9x² + 16x = 0. Dort gibt es mehrere Wege zur Lösung. Zunächst schauen wir uns das Ausklammern an – eine bewährte Methode in der Mathematik. Lassen Sie uns die Lösung der Gleichung Schritt für Schritt durchgehen.

Ausklammern

Der erste Schritt besteht darin den gemeinsamen Faktor x herauszuklammern. In der Gleichung 9x² + 16x = 0 ist x der gemeinsame Faktor. Also können wir schreiben:

x(9x + 16) = 0.

Das führt uns zu zwei Möglichkeiten. Entweder ist x genauso viel mit 0 – oder die Klammer (9x + 16) erfüllt die Gleichung. Nun setzen wir 9x + 16 = 0.

Hier ergibt sich:

9x = -16 → x = -16/9.

Quadratische Lösungsformel

Der zweite Weg zur Lösung ist die Anwendung der Quadratischen Lösungsformel. Sie lautet:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

In unserem speziellen Fall setzen wir a = 9, b = 16 und c = 0. Somit erhalten wir:

x = (-16 ± √(16² - 4 * 9 0)) / (2 9).

Berechnen wir nun:

16² = 256 und 4 * 9 * 0 = 0 was uns die Formel vereinfacht:

x = (-16 ± √256) / 18.

Das Wurzelziehen bringt uns zwei Lösungen:

x = (-16 + 16) / 18 = 0.

Aber auch:

x = (-16 - 16) / 18 = -32 / 18 = -16/9.

Graphische Methode

Eine weitere interessante Methode ist die graphische Darstellung. Diese zeigt uns visuell die Nullstellen der quadratischen Gleichung. Die Gleichung können wir ebenfalls in die Form 9x² + 16x - 0 = 0 umwandeln. Der Graph ist eine Parabel – da der Koeffizient a positiv ist. Die Parabel berührt die x-Achse an den berechneten Punkten.

Die y-Achse wird bei y = 0 geschnitten – eine direkte Folge von c = 0. Die Nullstellen sind wichtig, da sie die Werte darstellen, an denen die Parabel die x-Achse schneidet. Dies sind x = 0 und x = -16/9.

Zusammenfassung

Um die quadratische Gleichung 9x² + 16x = 0 zu lösen – hier haben wir zwei verschiedene Methoden angewendet. Das Ausklammern und die Quadratische Lösungsformel führten uns zu den Lösungen x = 0 und x = -16/9. Eine graphische Darstellung bietet eine anschauliche Erklärung. Beide Ansätze zeigen auf ebenso wie vielfältig die Mathematik ist.

Insgesamt lassen sich dadurch diverse Blickwinkel nutzen um diese Gleichung zu analysieren – und sie bleibt ein spannendes Thema in der Welt der Mathematik.