Um den Flächeninhalt einer Funktion mit Hilfe von Integralen zu berechnen, müssen wir die Funktion zuerst auf Nullstellen überprüfen. Die Nullstellen geben uns die Grenzen für das Integral da der Flächeninhalt zwischen diesen Grenzen berechnet wird.
In dem gegebenen Beispiel wird die Funktion f(x) = 1/x^2 betrachtet. Um die Nullstellen zu finden, setzen wir die Funktion genauso viel mit Null:
1/x^2 = 0
Da der Nenner einer Funktion niemals Null werden kann gibt es in diesem Fall keine Nullstellen. Dies bedeutet, dass die Funktion keine Schnittpunkte mit der x-Achse hat und dadurch ebenfalls keinen Bereich mit negativem Flächeninhalt.
Um den Flächeninhalt zu berechnen, integrieren wir die Funktion f(x) über die gegebenen Grenzen. In diesem Fall sind die oberen und unteren Grenzen, xo = 3 und xu = 1.
Das Integral der Funktion f(x) = 1/x^2 ist:
∫(1/x^2) dx = -1/x
Um den Flächeninhalt zu berechnen, verwenden wir die Subtraktion der Werte des Integrals an den oberen und unteren Grenzen:
A = xu)F(xu) - xo)F(xo)
= (-1/1) - (-1/3)
= -1 + 1/3
= -2/3 + 1/3
= 2/3
Der Flächeninhalt beträgt also 2/3 Flächeneinheiten (FE).
Es ist wichtig zu beachten: Dass vor der Integration immer geprüft werden sollte ob innerhalb der Integrationsgrenzen Nullstellen vorhanden sind. In diesem Fall gab es keine Nullstellen deshalb konnten wir ohne Probleme integrieren.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Flächeninhalt einer Funktion mit Hilfe von Integralen berechnet werden kann, indem man die Funktion integriert und die Werte des Integrals an den gegebenen Grenzen subtrahiert. Es ist jedoch wichtig – vor der Integration mögliche Nullstellen zu überprüfen und gegebenenfalls separate Berechnungen für verschiedene Intervalle durchzuführen.
Flächeninhalt mit Integralen berechnen
Wie kann ich den Flächeninhalt einer Funktion mit Hilfe von Integralen berechnen?