Nachdem du eine Funktion mit der Produkt- oder Kettenregel abgeleitet hast, erhältst du eine Ableitungsfunktion. Um die Extremstellen dieser Funktion zu berechnen musst du die Ableitung genauso viel mit null setzen und nach den Variablen auflösen.
Um das am Beispiel zu verdeutlichen, betrachten wir die Funktion f(x) = x^4. Die Ableitung dieser Funktion, f'(x), ergibt sich mit Hilfe der Kettenregel zu f'(x) = 4x^3 * 1.
Um die Extremstellen zu berechnen, setzen wir f'(x) gleich null und lösen nach x auf:
4x^3 = 0
Da ein Produkt aus Faktoren gleich null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist, haben wir hier die Möglichkeit, dass entweder 4x^3 = 0 oder 1 = 0 gilt. Die Gleichung 1 = 0 ist klar falsch, deshalb fokussieren wir uns auf 4x^3 = 0.
Um x zu berechnen, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 4:
x^3 = 0
Da der Kubik des Wertes 0 null ergibt ist x = 0 die einzige Lösung dieser Gleichung. Somit ist die Funktion f(x) = x^4 an der Stelle x = 0 ein Extrempunkt.
Für die Produktregel funktioniert die Vorgehensweise ähnlich. Angenommen, wir haben die Funktion f(x) = x^2 * e^x. Die Ableitung dieser Funktion, f'(x), ergibt sich mit Hilfe der Produktregel zu f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x.
Um die Extremstellen zu finden, setzen wir f'(x) gleich null und lösen nach x auf:
2x e^x + x^2 e^x = 0
Hier haben wir mehrere Faktoren die gleich null sein könnten. Um die Gleichung zu lösen, benötigen wir in der Regel numerische Methoden oder Approximationstechniken da es schwierig sein kann eine analytische Lösung zu finden.
In beiden Fällen, sowie bei der Produkt- als ebenfalls bei der Kettenregel ist das Vorgehen zum Berechnen der Extremstellen ähnlich. Du setzt die Ableitung gleich null und löst nach der Variablen auf. Die genaue Lösung hängt jedoch von der konkreten Funktion ab und kann manchmal komplex sein.
Wie werden Extremstellen mit der Produkt- und Kettenregel bestimmt?
Wie kann ich die Extremstellen einer Funktion bestimmen, nachdem ich sie mit der Produkt- und Kettenregel abgeleitet habe?