Unendlich viele zahlen natürlichen

Es gibt unendlich viele ganze Zahlen und unendlich viele Natürlichen Zahlen. Dennoch

Die Menge der natürlichen zahlen und die Menge der ganzen Zahlen sind gleich mächtig.
Und zwar deshalb, weil es eine bijektive Abbildung zsichen den beiden Mengen gibt:
Z N
0 1
1 2
-1 3
2 4
-2 5
3 6
-3 7
.
z -> 2z, wenn z gerade und +1, wenn z ungerade.
Damit ist bewiesen, dass beide Mengen die gleiche Mächtigkeit haben. Diese unendlich große "Zahl" wird Aleph-0 genannt.

Das muss an der frühes Morgenzeit liegen, dass ich "gerade" oder "ungerade" geschrieben habe. Es muss natürlich heißen >0 und unendlich e^x größer als limx->unendlich ln ist.

ich weiß nicht ob es ein korrekter mathematischer Beweis ist, aber vielleicht hilft es dir es nachzuvollziehen.
Z = x
N = x*x = x^2
N/Z= x^2/x = x/1 = x
-> N ist unendlich mal größer als

Ist wirklich Quatsch, weil Z auch die Negativen enthält. Trotzdem sind Z und N gleich mächtig.

Kann es sein dass du da ℤ mit ℝ vergleichst und nicht mit ℕ? Vielleicht ist das ja sogar vom Fragensteller gemeint, aber dann muss man es schon dazusagen

In der Antwort von Mariuz wurde behauptet:
"N ist größer, weil es ja neben 1,2,3. auch noch zwischen 1 und 2 unendlich viele Zahlen hat"
Es wurde hier IN mit IR verwechselt. Die Mächtigkeit der reellen Zahlen ist ganz klar eine andere, als die der natürlichen Zahlen. Man kann sich relativ leicht intuitiv klar machen, dass es keine umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen IN und IR geben kann. In gewisser Weise wäre also hier der umgangssprachliche Satz "R ist "größer" als N" gerechtfertigt. Für mathematische-präzise Betrachtungen muss der Begriff "größer" natürlich exaktifiziert werden. Dieser Prozess der genauen Klärung dieser "Unendlichkeitsproblematik" z.B.)) war einer der bedeutendsten Schritte der gesamten Mathematik.

Man kann sich relativ leicht intuitiv klar machen, dass es keine umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen IN und IR geben kann."
Ist das so klar? Sollte man wirklich Cantors zweites Diagonalargument zu einem Korollar degradieren? Ich denke er würde das anders sehen.
Insbesondere wird fast jeder Mensch beim ersten Hinsehen sagen, dass
|IQ| > |IN| "intuitiv klar" ist. Trotzdem ist es falsch.

Selbstverständlich hat sich das zweite Diagonalargument von Cantor mehr als nur ein Corrolar zu sein, verdient.
Ich hatte lediglich gemeint, dass man durch leichte logische Überlegungen eine Vermutung über die Unterschiedlichkeiten der jeweiligen Mächtigkeiten aufstellen kann.
Z.B. könnte man versuchen - etwa durch eine Tabelle - jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zuzuordnen. Ich bin überzeugt, dass vielen zieml klar sein würde, dass diese Abbildung nicht surjektiv sein kann.

Und zu demselben Schluss wird man kommen, wenn man naiv mit einer Tabelle eine Abbildung von IN nach IQ untersucht.
Man muss die Tabelle auch "richtig" wählen, und Cantors Aussage ist, dass es keine "richtige Wahl" für eine Tabelle IN->IR gibt.

Korollar übrigens mit "K", nicht wie das englische "corollary

Kann es sein dass du garnicht ℤ und ℕ meinst sondern ℝ und ℕ?

Es gibt zu jeder unendlichen Menge M eine noch mächtigere Menge M'.
Denn M':=Pot leistet dies.
Beweis:
Angenommen M und M' hätten die gleiche Mächtigkeit, es gibt also eine bijektive Abbildung
f: M->Pot
Definiert man nun L:={x€M | x ist kein Element von f}
dann muss es ein y€M geben mit f=L
Dann liefert aber sowohl y€L als auch die Negation davon einen Widerspruch.