Berechnung der Nullstellen einer Gleichung mit zwei Variablen

Die Berechnung von Nullstellen in einer Gleichung mit zwei Variablen birgt oft Herausforderungen. Der Prozess bedarf sorgfältiger Umformung um die richtige Transformation zu erreichen. Ein Beispiel ist die Gleichung 1⸴5t² - 3kt + 6k - 6 = 0.
Wie ermitteln wir konkret die Nullstellen dieser Gleichung?

Zunächst formen wir die Gleichung so um, dass die Variable t isoliert wird um die Anwendung der pq-Formel zu ermöglichen. Die Koeffizienten sind hier a = 1⸴5, b = -3k und c = 6k - 6. Diese Werte spielen eine zentrale Rolle.

Um mit der pq-Formel zu arbeiten ist es notwendig die Variablen p und q zu bestimmen. Hierbei ergibt sich p als -2k und q als 4k - 6. Die allgemeine Formel zur Berechnung der Nullstellen lautet:

\[ t = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Unter Einsetzen der Werte ergibt sich:

\[ t = \frac{-(-3k) ± \sqrt{((-3k)^2 - 4 \cdot 1⸴5 \cdot (6k - 6))}}{2 \cdot 1⸴5} \]

Dies vereinfacht sich zu:

\[ t = \frac{3k ± \sqrt{9k^2 - 36k + 36}}{3} \]

Die Quadratwurzel lässt sich weiter vereinfachen. Daraus folgt:

\[ t = \frac{3k ± \sqrt{(3k - 6)^2}}{3} \]

Die endgültige Lösung kann in zwei Fälle unterteilt werden.

Fall 1:
Hier betrachtet man die positive Lösung:

\[ t = \frac{3k + (3k - 6)}{3} = \frac{6k - 6}{3} = 2k - 2 \]

Fall 2:
Die negative Lösung führt zu:

\[ t = \frac{3k - (3k - 6)}{3} = \frac{6}{3} = 2 \]

Die beiden Lösungen für t sind dadurch t
= 2 und t
= 2k - 2.

Diese generellen Lösungen sind von der Variablen k abhängig. Es ist wichtig zu beachten – dass die Werte für k unendlich viele Möglichkeiten bieten. Jeder spezifische Wert von k führt zu einer einzigartigen Lösung für t. Zieht man beispielsweise k = 1 in Betracht, so ergibt sich t
= 2(1) - 2 = 0.

Das Verständnis dieser Abhängigkeit ist entscheidend. Mit k als beliebigen Wert kann t verschiedene Zahlen annehmen. Dies gilt insbesondere in der Mathematik und in vielen Anwendungen. Betrachtet man spezifische Beispiele oder anschauliche Szenarien, entsteht ein breites Spektrum an möglichen Lösungen.

Zusammenfassend haben wir die Nullstellen der Gleichung 1⸴5t² - 3kt + 6k - 6 = 0 als t
= 2 und t
= 2k - 2 dargestellt. Solch eine Mathematik demonstriert die Flexibilität und Komplexität von Variablen und deren Lösungen. Was ebenfalls immer die Interpretation ist der Prozess bleibt genauso viel mit und eröffnet eine Vielzahl an Möglichkeiten für interessante mathematische Erkundungen.