Mathematisch gesehen ist es tatsächlich so dass man irgendwann eine 6 würfeln muss wenn man unendlich oft würfelt. Allerdings ist es in der Realität nicht möglich unendlich oft zu würfeln.
Um die Frage mathematisch zu beantworten, betrachten wir eine diskrete Zufallsvariable X_i die angibt, ob beim i-ten Wurf eine 6 gewürfelt wurde (P = 1/6) oder nicht (P = 5/6). Angenommen die X_i sind stochastisch unabhängig, dann gilt dass die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln, gegen Null konvergiert. Mathematisch ausgedrückt: P = lim (n -> unendlich) (5/6)^n. Der Grenzwert existiert und ist 0.
Man könnte ebenfalls das Ereignis A_n definieren, dass X_n = 1 gilt. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit: Dass die 6 unendlich oft gewürfelt wird genauso viel mit 1, wenn die X_n stochastisch unabhängig sind. Dies lässt sich mit dem Lemma von Borel-Cantelli beweisen. Das Lemma besagt: Dass unter bestimmten Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit dass ein Ereignis unendlich oft eintritt, gleich 1 ist.
Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass "unendlich oft würfeln" in der Realität nicht umsetzbar ist. Die Aussage ´ dass die Wahrscheinlichkeit null ist ` muss deshalb mit Vorsicht interpretiert werden. Die Wahrscheinlichkeit fällt mit zunehmender Anzahl der Würfe unter alle positiven Schranken jedoch für kein endliches n ist das Ereignis in n Würfen keine 6 zu würfeln unmöglich. Es wird nur mit zunehmendem n immer unwahrscheinlicher.
In der Praxis bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, bei jedem Wurf immer gleich ist (1/6). Wenn man unendlich oft würfeln würde, bestünde eine geringe Chance, dass nur die Zahlen 1 bis 5 gewürfelt werden die zur Verwendung 5/6 stehen. Es ist jedoch sehr unwahrscheinlich ´ dass dies eintritt ` und die Wahrscheinlichkeit konvergiert gegen Null.
Zusammenfassend lässt sich sagen: Dass die mathematische Begründung besagt dass man irgendwann eine 6 würfeln muss, wenn man unendlich oft würfelt. In der Realität ist dies jedoch nicht möglich und die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln wird mit steigender Anzahl der Würfe immer unwahrscheinlicher.
Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, wenn man unendlich oft würfelt
Gibt es eine mathematische Begründung dafür, dass man irgendwann eine 6 würfeln muss, wenn man unendlich oft würfelt?