Der Grenzwert von 1 geteilt durch die Quadratwurzel aus x kann nicht direkt durch das Einsetzen von Werten bestimmt werden. Um den Grenzwert zu bestimmen – müssen wir die Definition des Grenzwerts verwenden.
Wir betrachten die Funktion f(x) = 1 / √x und untersuchen den Grenzwert von f(x) für x der gegen 0 geht.
Zunächst sollten wir beachten, dass die Funktion f(x) für x = 0 nicht definiert ist da es nicht möglich ist durch 0 zu teilen. Daher betrachten wir den Grenzwert nur für x-Werte die größer als 0 sind.
Um den Grenzwert zu bestimmen, verwenden wir die Definition des Grenzwerts: Der Grenzwert von f(x) für x gegen 0 ist unendlich, wenn für jede beliebig kleine Zahl M größer als 0 eine Zahl δ größer als 0 existiert, sodass für alle x-Werte in der Umgebung von 0 mit |x| < δ die Funktion f(x) größer als M ist.
Für die Funktion f(x) = 1 / √x können wir den Grenzwert untersuchen, indem wir uns den Verlauf der Funktion für immer kleinere Werte von x nähern. Wenn x gegen 0 geht, wird √x immer kleiner und dadurch wird der Wert von f(x) immer größer. Das bedeutet, dass f(x) gegen ♾️ geht, wenn x gegen 0 geht.
Wir können dies ebenfalls formal zeigen indem wir die Definition des Grenzwerts verwenden. Sei M eine beliebig kleine Zahl größer als 0. Wir müssen nun eine Zahl δ finden, sodass für |x| < δ gilt: f(x) > M.
Da f(x) = 1 / √x, können wir f(x) größer als M machen, indem wir √x kleiner als 1/M machen. Das bedeutet, dass wir √x < 1/M wählen müssen. Wir wählen δ = (1/M)^2.
Dann gilt für alle x-Werte mit |x| < δ: √x < 1/M. Durch die Umkehrung der Ungleichung erhalten wir 1/√x > M, also f(x) > M.
Somit erfüllt die Funktion f(x) = 1 / √x die Definition des Grenzwerts, wenn x gegen 0 geht. Der Grenzwert geht gegen Unendlich.
Insgesamt konvergiert der Grenzwert von 1 geteilt durch die Quadratwurzel aus x gegen Unendlich, wenn x gegen 0 geht.
Grenzwert von Limes gegen 0 bei 1 geteilt durch Wurzel aus x?
Konvergiert der Grenzwert von 1 geteilt durch die Quadratwurzel aus x gegen Unendlich, wenn x gegen 0 geht?