Definitionsmenge und Wertemenge von ganzrationalen Funktionen

Definitionsmenge bei ganzrationalen Funktionen:
Ja, es stimmt, dass bei ganzrationalen Funktionen die Definitionsmenge immer ℝ (IR) ist, also alle reellen Zahlen umfasst. Ganzrationale Funktionen sind Polynome bei denen die Koeffizienten der Potenzen von x reelle Zahlen sind. Die Definitionsmenge gibt an – für welche Werte von x die Funktion definiert ist. Da reelle Zahlen unendlich viele Werte annehmen können ist die Definitionsmenge von ganzrationalen Funktionen immer die Menge aller reellen Zahlen.

Wertemenge bei ganzrationalen Funktionen:
Die Wertemenge einer Funktion gibt an welche Werte die Funktion für verschiedene x-Werte annimmt. Die Wertemenge hängt von der Form und dem Grad der ganzrationalen Funktion ab. Es gibt bestimmte "Regeln" oder Muster die bei der Bestimmung der Wertemenge von ganzrationalen Funktionen helfen können.

1. Konstante Funktionen: Bei dauerhaften Funktionen also Funktionen ohne Variable x besteht die Wertemenge ebendies aus dieser Konstante. Zum Beispiel ist bei der Funktion f(x) = 3 die Wertemenge {3}.

2. Ungerader Grad: Bei ganzrationalen Funktionen mit ungeradem Grad geht die Funktion in eine x-Richtung nach -∞ (negativ unendlich) und in die andere x-Richtung nach +∞ (positiv unendlich). Das bedeutet, dass die Funktion für sehr große negative und positive Werte von x beliebig groß oder klein werden kann. Die Wertemenge ist also ganz ℝ. Zum Beispiel ist bei der Funktion f(x) = x^3 + 2x + 1 die Wertemenge ℝ.

3. Gerader Grad: Bei ganzrationalen Funktionen mit geradem Grad kann die Wertemenge eingeschränkt sein. Die Funktion kann entweder in beide x-Richtungen nach ∞ gehen, also für sehr große positive und negative Werte von x beliebig groß oder klein werden, oder sie kann in eine Richtung konvergieren. Um die Wertemenge in die andere y-Richtung zu bestimmen, muss das globale Minimum bzw․ Maximum der Funktion gefunden werden. Die Wertemenge kann dann von diesem Minimum/Maximum bis ∞ bzw․ -∞ reichen. Zum Beispiel ist bei der Funktion f(x) = x^2 + 3 die Wertemenge [3, +∞).

Es ist wichtig zu beachten » dass dies allgemeine Regeln und Muster sind « die zur Verwendung die Wertemenge von ganzrationalen Funktionen gelten. Es gibt jedoch immer Ausnahmen oder spezielle Fälle bei denen diese Regeln nicht zutreffen könnten.