Die Analyse von ganzrationalen Funktionen ist ein tief und vielfältig ausgelegtes Thema der Mathematik. Besondere Aufmerksamkeit verdienen die Definitionen von Definitionsmenge und Wertemenge. Zuerst zur Definitionsmenge. Ganzrationale Funktionen umfassen alle möglichen ganzen reellen Zahlen. Bei diesen Funktionen handelt es sich um Polynome. Daher ist die Definitionsmenge tatsächlich ℝ. Diese Tatsache kann als Grundpfeiler des Verständnisses betrachtet werden. Ganzrationale Funktionen sind überall definiert.
Die Wertemenge einer Funktion ist der zweite Schlüsselbegriff, wenn man sich mit ganzrationalen Funktionen beschäftigt. Was ist die Wertemenge genau? Diese beschreibt die möglichen Ausgaben der Funktion die bei verschiedenen Eingabewerten entstehen können. Fascination ist ein guter Begriff um die facettenreiche Natur der Wertemenge zu umreißen. Ihre Bestimmung hängt stark vom Grad der ganzrationalen Funktion ab.
Ein asymmetrisches Bild vermittelt uns beispielsweise die Betrachtung von dauerhaften Funktionen. Diese Arten von Funktionen variieren nicht — ihre Wertemenge enthält nur den konstanten Wert. Ein simples Beispiel wäre f(x) = 3. In diesem Fall ist die Wertemenge ebendies {3}. Einfach und klar.
Erläuterungen zum ungeraden Grad kommen nun ins Spiel. Funktionen mit ungeradem Grad zeigen ein beeindruckendes Verhalten. Sie erstrecken sich sowie in negative als ebenfalls in positive Unendlichkeiten. Ungerade Grade bewirken, dass die Funktion für große negative x- und große positive x-Werte nahezu jeden realen Wert annehmen kann. Die Wertemenge ist hier also auch ℝ. Ein Beispiel für solche Funktionen könnte f(x) = x^3 + 2x + 1 sein — die Wertemenge ist, ebenso wie bereits erwähnt, ℝ.
Im Gegensatz dazu stehen die Funktionen mit geratem Grad. Hier wird das Bild komplexer. Die Wertemenge könnte stark eingeschränkt sein. Funktionen mit geradem Grad neigen dazu, in einer Richtung zu konvergieren und erreichen nicht immer alle y-Werte. Hier kommt das globale Minimum oder Maximum ins Spiel. Nur die Bestimmung dieser Werte ermöglicht es uns die Wertemenge korrekt zu beschreiben. Ein Beispiel ist die Funktion f(x) = x^2 + 3. Hier ergibt sich die Wertemenge [3, +∞). Die Funktion erreicht also nie Werte unter 3.
Was lernen wir daraus? Die Regeln zur Bestimmung der Wertemenge sind dabei keinesfalls starr. Sie beinhalten große Wahrscheinlichkeit für Ausnahmen oder spezielle Fälle die abweichen können. Außerdem ist zu beachten, dass wir auch bei der Behandlung von ganzrationalen Funktionen komplexe Herausforderungen meistern müssen. In der Mathematik ist kein Grundsatz absolut; neue Entdeckungen und Verfahren existieren fortlaufend.
So bleibt der Bereich der ganzrationalen Funktionen nicht nur ein Element der Mathematik allerdings auch ein Reich voller Entdeckungen in dem wir stets die Möglichkeit haben, unsere Erkenntnisse zu erweitern.
Definitionsmenge und Wertemenge von ganzrationalen Funktionen
Stimmt es, dass ganzrationale Funktionen immer die reellen Zahlen als Definitionsmenge haben? Wie lässt sich die Wertemenge effizient bestimmen?