Kathetensatz höhensatz erklären

In dem Wikipedia_Artikel wird ganz deutlich, dass die mit Winkelf. nicht zu Recht kommen. Das hat aber einen kühlen Grund. Wir müssen abstrahieren und uns die Lage an einem bel. Dreieck klar machen. Die Winkel mögen jetzt mal a, ß und g heißen. c ist also eine ganz bel. Seite; h die konj. Höhe so wie p = und q = die Abschnitte p + q = c Es ist erstaunlich, wie viel jetzt schon gilt. In dem Dreieck leitest du sofort ab p = a cos u. entspr. in q = b cos Sonderfälle: ß = ===> p = 0 Für ß > würdest du aus einer Zeichnung sofort ersehen, dass q > c. Dafür zählt aber auch nach p negativ. c können wir aus a mit dem Sinussatz ausdrücken. c/a = sin/sin c = a sin/sin Wir multiplizieren mit pc = a² cos sin/sin Der uns intressierende rechtw. Sonderf. ist erst mal durch gekennzeichet sin = 1 Ferner sind in einem rechtw. Dr. a und ß nicht unabh. voneinander. Es gilt nämlich cos = sin Eins. v. und in führt dir. auf den Kathetensatz. Die Aussage des Höhensatzes liegt mathematisch noch viel tiefer. Man kommt erst mal auf die Idee, und miteinander zu multiplizieren pq = ab cos cos In dem Dreieck folgt analog h = a sin und entspr. die Bez. h = b sin Gleichsetzen v. m. führt ja auf den Bew. des Sinussatzes. Aber das soll uns hier weniger intressieren. Du multiplizierst und miteinander. h² = ab sin sin Wir wollen als Abschnitts_Rechteck und als Höhenquadrat bezeichnen. Im Folgenden benötigen wir das Add. Theor. cos = cos cos -/+ sin sin pq + h² = ab cos Gl. ist der 1. Textorsche Höhensatz. Die linke Seite, die Summe aus AR und HQ, wollen wir kurz die Dreiecks_Summe nennen. Man darf jetzt nicht a - ß als Diff. zweier Winkel auffassen. Wie zählt a? Der Vektor zeigt von A nach B und wird im pos. Sinn gedreht. Bei ß ist es umgek. Der Vektor zeigt von B nach A und wird im neg. Sinn gedreht. Am Winkelmesser müsstest du von 180° aus 'rückwärts' zählen. Die wirkl. Diff. zw. a und ß ist a + ß. Welche Sonderfälle gibt es? a = ß führt auf den gleichsch. Fall. Der ist trivial; überlasse ich dir. Intressanter ist da schon der Fall a - ß = Dann verschw. der Kosinusterm in Huch? Dreiecke, die Bed. erfüllen, nenne ich anti_rechtw. Der Untersch. zw. rechtw. u. anti_rechtw. ist etwa der zw. Ferro_Magnetismus u. Anti_Ferro_Magnetismus. Das eine kannten schon die Höhlenmenschen; das andere begreifen nicht mal die Diplomanden. Du musst bedenken: ß > ===> p < 0 Die Fläche des AR ist 'orientiert'; sie zählt negativ, weil das AR den Drehsinn geändert hat. Dem Betrage nach verhalten sich jedoch rechtw. u. anti_rechtw. Dr. in puncto Höhens. gleich. Die 'Grundseite' eines anti_rechtw. Dr., die durch ausg. ist und die wir mit c identifizieren wollen, heißt Anti_Hypotenuse; die beiden anderen Seiten Anti_Kateten. 2. TEXTORSCHER HÖHENSATZ == AR und HQ über der Anti_Hypotenuse eines anti_rechtwinkligen Dreiecks sind flächengleich. === == Kehren wir zurück zu Es ergibt sich dann noch h² - pq = ab cos Dabei musst du aber noch zus. bedenken: cos = - cos a + ß + g = pi