Welche echten einwände dagegen logarithmus dimensionsbehafteten größe nehmen

Welche echten Einwände gibt es dagegen, den Logarithmus einer dimensionsbehafteten Größe zu nehmen?

Analog könnte man ja auch sagen: "1/0 ist zwar nicht definiert, aber ich lass das einfach in meiner Gleichung stehen, ohne den Wert zu kennen."'
Hm. Das, finde ich, ist nicht ganz das gleiche: 1/0 existiert schon deshalb nicht weil eine Definition im Widerspruch zur Definition der 0 als neutrales Element der Multiplikation stünde - die Zahl
a := 1/0
müsste die Gleichung
a * 0 = 1 ≠ 0
erfüllen.
Dass die Zahl b:=ln die Gleichung
e^b = 1m
erfüllen müsste ist nur deshalb ein Problem wenn man annimmt dass 1m keine reele Zahl ist und deshalb nicht im Bild der Exponentialfunktion liegt, aber was für Widersprüche würden sich ergeben wenn man einfach annimmt dass 1m eine positive Zahl ist deren Wert man lediglich nicht kennt?

Ich schreibe ja Unsinn,
"im Widerspruch zur Definition der 0 als neutrales Element der Multiplikation".
Im Widerspruch der Definition der 1 als neutrales Element der Multiplikation natürlich, und dem Distributivgesetz sowie der Definition von Minus als Addition mit dem inversen Element bzgl. der Addition, weil
a * 0 = a

Guten Morgen
Wie üblich eine interessante Frage von dir.
1) Was sind "physikalische Dimensionen" im mathematischen Sinne?
Tja, wie du schon sagtest interessieren sich Mathematiker herzlich wenig für physikalische Dimensionen. Wenn wir uns das Verhalten von Dimensionen anschauen stellen wir aber schnell fest, dass sie sich wie Variablen über dem zugrundeliegenden Körper verhalten. Aber natürlich sind Dimensionen keine Elemente irgendeines Körpers.
. Und da sich Mathematiker nicht für Dimensionen interessieren gibt es meines Wissens nach auch keine Definition dafür.
Wenn ich eine konkrete Definition angeben sollte, würde ich ungefähr folgendes schreiben:
["u"=Vereinigung, "^"=Schnitt]
"Sei T ein Alphabet mit T ^ |R={}. Dann nennen wir T u |R 'dimensionsbehaftete Zahl.'
Dabei gilt für alle t in T:
Es gibt ein Inverses t^.
Es gibt eine Abbildung * : |R x -> |R x mit *(t',r't*t',r*r')
Es gibt keine Abbildung +: |R x -> |R x
Es gibt eine Abbildung +~: x -> x mit +(t',r't,r+r') t=t'
."
Diese Definition ist sicherlich nicht vollständig, aber der dahinterstehende Gedanke dürfte klar geworden sein: Wir erweitern einfach einen Grundkörper um ein Alphabet und erzeugen Rechenregeln, die den "normalen" Rechenregeln soweit es geht entsprechen.
2) Warum machen Ausdrücke wie "ln" keinen Sinn?
Erstmal das mathematische: ln ist nicht definiert. Da ln: |C->|C gilt, meter aber sicherlich keine komplexe Zahl ist, funktioniert hier so einiges nicht.
Und anschaulich kann man das auch erklären:
ln=k e^k=m
Leider dürften wir uns verdammt schwer tun, eine Zahl k zu finden, sodass e^k eine Einheit ergibt.
Konnte ich dir damit helfen? Oder hab ich vielleicht deine Frage falsch verstanden?

Korrektur:
"Dann nennen wir T u |R 'dimensionsbehaftete Zahl.'"
Muss heißen
"Dann nennen wir T x |R 'dimensionsbehaftete Zahl.'"
Es muss natürlich das kartesische Produkt sein, nicht die Vereinigung.

ich habe gerade erst gelesen, dass du selbst den Einwand erkannt hast, dass ln nicht definiert ist.
Also erstmal macht das Arbeiten mich nicht definierten Werten nicht nur keinen Sinn, sondern ist sogar streng verboten *peitsche rausholt*. Analog könnte man ja auch sagen: "1/0 ist zwar nicht definiert, aber ich lass das einfach in meiner Gleichung stehen, ohne den Wert zu kennen."
Abgesehen davon, dass die Division durch 0 Risse im Raumzeitkontinuum erzeugt, ist eine mathematische Aussage mit nicht definierten Werten niemals eine wahre Aussage.
Und noch ein Einwand gegen deine Argumentation:
ln kann nicht eindeutig sein, da er eben nicht definiert ist. Das folgt direkt aus der Definition von Eindeutigkeit:
ln eindeutig k=ln & p=ln k=p
Da es aber kein k geben kann, sodass k=ln, kann man auch nicht sagen, dass ln eindeutig wäre.

Wenn wir annehmen, dass 1m einfach eine Zahl ist macht es ja keinen Sinn mehr, nach Dimensionen zu fragen, weil wir dann wieder dimensionslose Größen betrachten.
Der Casus Knackus ist ja gerade, dass 1m eben keine Zahl ist, sondern eine Dimension*1.
Und ich beharre darauf, dass das Beispiel mit 1/0 ein Analogon ist: Genauso, wie 1/0 der Definition des Neutralen Elements widerspricht, widerspricht der Ausdruck ln der Definition des ln - weil m eben keine Zahl ist. Aber wir können ja einfach einen Widerspruchsbeweis führen, wenn's dir Recht ist:
Annahme: ln in |C
Dann existiert eine Zahl k in |C, sodass e^k=m ist.
Da aber exp:|C->|C, folgt m in |C. Dies ist ein Widerspruch dazu, dass m eine Einheit ist.
. ja, der Beweis ist denkbar stumpf. Aber er zeigt halt sehr schnell, dass wir für einen Ausdruck ln erstmal eine Erweiterung von |C (bzw |R, wenn's dir lieber ist) schaffen müssen, sodass die Dimensionen in diesem Körper liegen.
Das dürfte imho auch gar nicht so schwer sein, diesen Körper zu definieren. Vielleicht kann man auch noch die ln-Funktion sinnvoll erweitern.
Aber die schlussendlich zu stellende Frage ist doch: Macht das physikalisch überhaupt sinn? Denn per Definition müsste es dann ja eine sinnvolle Bedeutung haben, mit Einheiten zu potenzieren. Und das geht momentan nicht in meinem Kopf, dass das wirklich Sinn macht.

Zufrieden bin ich damit noch nicht. ich muss mir irgendwann mal eine mathematisch exakte Definition des Begriffs "physikalische Einheit" ausdenken, und dann die Logarithmusfunktion so definieren dass sie auf physikalische Größen direkt anwendbar ist.

Zur Ergänzung vom 21.11.2010 12:10
Ich glaube den Tippfehler haben alle, die soweit gelesen haben, als solchen erkannt