Wie man beweisen 0 periode9 1 ist

Wie kann man beweisen, dass 0,Periode9 = 1 ist?

0,Periode9 geteilt durch 3 = 0,Periode3
0,Periode3 = 1/3 weil 1 geteilt durch 3 0,Periode3 ist.
3 x 1/3 = 1 bzw 3/3
Also muss 3x 0,Periode3 = 1 sein.
Daraus folgt: 0,Periode9 = 1.

Jetzt versuche den gleichen Beweis im Zahlensystem der 2.
Beweise, dass die beiden Binärzahlen 1,0 und 0,1111. gleich sind

beweise mir lieber erstmal, dass 0,11111 = 0,9999 ist.

Das geht einfach, mit der von mir unten angedeuteten Beweisidee.
Ich habe zwei Reihen:
r1 = Summe 1/2^n und r2 = Summe 9/10^n.
Für beide kann ich beweisen, dass deren Grenzwert 1 ist.

Im Grunde ist es axiomatisch so. Man beweist, dass die beiden Cauchyfolgen f1 = 1; 1; 1; 1;. und f2 = 0; 0,9; 0,99; 0,999;. gegen die gleiche Zahl konvergieren. Das geht aber nur, wenn man a dass der Limes einer Cauchyfolge eindeutig bestimmt ist.

Im Bereich der reellen Zahlen gibt es keine unendlich kleinen Zahlen, auch wenn man erstmal denkt zwischen 0,9 Periode und 1 muss eine "unendlich kleine Differenz" liegen.
Unter den reellen Zahlen gibt es das nicht.
Jedoch im Bereich der hyperreellen Zahlen, dort haben wir Infinitesimalzahlen, die größer als 0 aber kleiner als jede positive reelle Zahl sind, dann wäre 0,9 Periode < 1
Daher gilt für uns z.B. :
1/3 = 0,3 Periode
= 0,9 Periode = 3/3 = 1
Oder mathematisch korrekter :
10 * 0.9 Periode = 9.9 Periode
9 * 0.9 Periode = * 0.9 Periode
= 10 * 0.9 Periode - 1 * 0.9 Periode
= 9.9 Periode - 0.9 Periode
9 * 0.9 Periode = 9
0.9 Periode

Gar nicht, weil es ein Axiom ist. Stell dir mal folgendes vor: Zwischen 0,9 und 1 befindet sich der Abstand 0,1. Zwischen 0,99 und 1 befindet sich der Abstand 0,01 und zwischen 0,999 und 1 befindet sich der Abstand 0,001 usw. Wenn das Ganze nun unendlich weiter geht, dann wird beim Abstand nie eine 1 nach dem Komma erscheinen. Folglich ist der Abstand zwischen 0,Periode 9 und 1: 0. Und daher ist 0,Periode 9 = 1
Oder:
0, Periode 3 = 1/3
0, Periode 6 = 2/3
0, Periode 9 = 3/3
wie oben bereits geschrieben wurde.
Oder durch geschicktes algebraisches Umformen, wie auch oben bereits geschrieben wurde.

Du widersprichst dir selbst: Zuerst sagst du, es handle sich um ein Axiom, und dann beweist du es.
Das passt doch nicht zusammen

Nun gestern las ich :
Zwei Zahlen sind dann verschieden , wenn es zwischen ihnen mindestes eine andere Zahl gibt.
Mathematiker sagen : zwischen 0,9P (0,999999 >>> 0,9 periode) und 1 läßt sich beim besten Willen keine andere dazwischen packen.
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Der no rmale , ma thematisch u nbelastete M ensch hält das für Quatsch und "sieht" förmlich das fehlende Zahlenmaterial ; fragt sich auch warum das eine so 0,9P und das andere so 1 aussieht.
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nomauM läßt sich aber überzeugen , daß man eine Zahl auf viele Arten aufschreiben kann
5 z.b ist beim Abzählen identisch mit 25/5 und 1000/200 oder auch mit 2+3 , 7-2 und so weiter.
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Dann ist es nicht weit mit : 1/3 ist anders geschrieben 0,3P , oder anders rum , 0,3P ist ein drittel.
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Dann sollte man überzeugen können:
Weil drei mal ein Drittel gleich ein Ganzes ist , muß drei mal 0,3P auch ein Ganzes sein.
Kompliziert wird es für den nomauM wegen der reelen Zahlen und ihrer Überabzählbarkeit, die die Mathematiker so denken, wie andere Kartoffeln schälen.

Obwohl das jetzt eigentlich ausgelutscht ist, hier noch die für Laien leicht verständliche Variante über geometrische Reihen (nur implizit, wir verzichten auf die Theorie dazu
Sei x=0,99.
Es gilt: 10x=9,99.
9x=x=10x-1x=9
=>x=1

Wiki erklärt es doch ganz gut:
0,999… – Wikipedia