Wie beweise distributivgesetz vektoren

Wie beweise ich das Distributivgesetz mit Vektoren?

Genau der Denkanstoß hat gefehlt.
Jetzt ist es voll logisch

Über die komponentenweise Definition und das Distributivgesetz des zu Grunde liegenden Körpers.
Ich weiß leider noch nicht wie man hier vernünftige mathematische Formeln schreibt aber in LaTeX-Schreibweise:
Im K^n: a=\sum_i=1^n a_i*=\sum_i=1^n =\sum_i=1^n +\sum_i=1^n =ab+ac.

Leider gar nicht, aber LaTeX kannst du so zu png wandeln:
http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?a=\sum_i=1^n%20a_i*=\sum_i=1^n%20=\sum_i=1^n%20+\sum_i=1^n%20=ab+ac

Schade, ich dachte es würde hier vielleicht ähnlich Wikipedia gehen.

Das kann man doch graphisch:
Du legst fest, wie groß und in welche Richtung die Vektoren a, b und c zeigen.
Wenn du jetzt erst die zwei Vektoren zusammenzählst und dann mitm drittten multiplizierst, musst du auf dem selben Endpunkt rauskommen, als wenn du zu erst den b- und c-Vektor mit a-Vektor multiplizierst und dann aneinander hängst.

Das Skalarprodukt ergibt keinen Vektor zum "aneinander hängen".
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Du meinst das Kreuzprodukt. Dort spricht man von Bilinearität und nicht vom Distributivgesetz. Das Kreuzprodukt ist deshalb vermutlich nicht die Aufgabenstellung.