Warum gilt im Allgemeinen für orthogonale Geraden m1*m2=-1?

Orthogonale Geraden sind zwei Geraden die sich im rechten Winkel schneiden. Um zu verstehen, warum gilt, dass das Produkt der Steigungen von orthogonalen Geraden generell -1 ist, können wir uns dies mit Vektorrechnung erklären.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene sich im rechten Winkel schneiden sind ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander was bedeutet: Dass ihr Skalarprodukt null ist. Angenommen m1 ist die Steigung der ersten Geraden und m2 die Steigung der zweiten Geraden, so sind ihre Richtungsvektoren skalare Vielfache von (1,m1) bzw․ (1,m2). Das Skalarprodukt dieser Vektoren lautet (1*m1) + (1*m2) = m1 + m2. Da das Skalarprodukt null sein muss, ergibt sich die Gleichung m1 + m2 = 0.

Um diese Gleichung umzuformen und die Beziehung zwischen den Steigungen zu erhalten, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit m2: (m1 + m2) m2 = 0 m2 was zu m1m2 + m2^2 = 0 führt. Da m2^2 = (-m2) (-m2) = (-1) * (-m2^2) ist, können wir die Gleichung umformen zu m1*m2 = -m2^2.

Da m2^2 immer ein positiver Wert ist, können wir die Gleichung weiter vereinfachen zu m1*m2 = -1. Dies ist die allgemeine Beziehung zwischen den Steigungen von orthogonalen Geraden.

Man kann sich dies ebenfalls mit dem Steigungsdreieck vorstellen. Wenn wir das Steigungsdreieck der ersten Geraden betrachten und es um 90 Grad drehen, erhalten wir das Steigungsdreieck der zweiten Geraden. Dabei wird die "y-Seite" des ersten Dreiecks zur "x-Seite" des zweiten Dreiecks und die "x-Seite" des ersten Dreiecks zur "y-Seite" des zweiten Dreiecks, obwohl dabei die Richtung von positiv nach negativ wechselt. Durch diese Drehung erhalten wir das Produkt der Steigungen von -1.

Um dies an einem konkreten Beispiel zu verdeutlichen: Angenommen, wir haben eine Gerade mit einer Steigung von 2/3. Um eine orthogonale Gerade dazu zu finden müssen wir das Steigungsdreieck um 90 Grad drehen. Die Steigung der orthogonalen Gerade erhält man, indem man die x-Komponente der ersten Gerade durch die y-Komponente der orthogonalen Gerade ersetzt und deren Vorzeichen wechselt. In diesem Fall ergibt sich eine Steigung von -3/2. Wenn wir das Produkt der Steigungen berechnen, erhalten wir (2/3)*(-3/2) = -1 was zeigt: Die Geraden orthogonal zueinander sind.

Zusammenfassend kann man sagen, dass das Produkt der Steigungen von orthogonalen Geraden im Allgemeinen -1 ist, weil sich dies aus dem Skalarprodukt der Richtungsvektoren ableitet welche orthogonal zueinander sind. Das Steigungsdreieck verdeutlicht, dass die zweite Gerade um 90 Grad gedreht wird, mittels welchem das Produkt der Steigungen -1 ergibt.