Formel types f a lösungen x alle primzahlen

Gibt es bereits eine Formel des Types f=a, für die die Lösungen von "x" alle Primzahlen sind?

Es gibt so etwas Ähnliches, es gibt die Riemannsche Zetafunktion, die damit zusammenhängende Riemannsche Vermutung und den Primzahlsatz.
Du kannst dir eine einführende Darstellung hier ansehen:
http://wwwmath.uni-muenster.de/u/deninger/about/seminare/vorlesungsskript-an-zahltheorie/primzahlen2.pdf

Alle modernen Verfahren zur Primzahlanalyse bauen direkt oder indirekt auf der Riemannschen Vermutung auf.

Was meinst du mit "Nutzen"? Wenn du den AKS-Primzahltest durchführst, den ersten bekannten Test mit polynominellem Aufwand, dann verwendest du indirekt die Riemannsche Vermutung.
AKS-Primzahltest – Wikipedia
(Dass der polynominelle Aufwand wichtig ist, hängt mit einem wichtigen Theorem in der theoretischen Informatik zusammen. Es bedeutet, dass der Primzahltest prinzipiell in P und nicht in NP liegt. Das hat Einfluss auf das P/NP-Problem: P-NP-Problem – Wikipedia

Warte, bedeutet das nicht mit anderen Worten, das all die Verschlüsselungslogarythmen, die auf den exponentiellen Aufwand zur Berechnung von Primzahlen ausnutzen, bereits seit 2002 ausgehebelt sind?

Nein. Der Test auf Primalität ist ein anderes Problem als die Faktorisierung.
Wir können mit polynominellem Aufwand testen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist.
Es ist aber kein Verfahren bekannt, mit dem man mit polynominellem Aufwand das Produkt zweier Primzahlen in die Primfaktoren zerlegen kann, ohne eine der beiden Primzahlen zu kennen.

Du meinst Lösungen für f. Wenn du a als Primzahltest definierst, hast du das gewünschte.

Wäre das dann nicht eher ein Algorythmus als eine Formel?

Hier ihr seid alle so schlau; wer erklärt mir den Meißelalgoritmus? Die Primzahlfunktion lässt sich für jedes Intervall exakt berechnen, ohne die einzelnen Primzahlen zu kennen.

Eigentlich witzig. Jeder weiß, was die Frage bedeutet. Aber sie lässt sich nicht matematisch präzisieren. Natürlich existiert die Funktion
f : |N ==> P
n ==> p
Aber man müsste jetzt eine Bedingung stellen, die sie zu erfüllen hat. Meines Wissens gibt es da bis Heute keine Ergebnisse.
Mit Onkel Riemann hat dies übrigens null zu tun.

Bedingungen lassen sich doch leicht finden - da hat sich doch bestimmt schon mal jemand die Mühe gemacht, es bis zur Sackgasse auszuarbeiten?

Offenbar wird das Problem tot geschwiegen; auch in der populären Literatur war da nur wenig zu finden.

Gibt es bereits eine Formel des Types f=a, für die die Lösungen von 'x' alle Primzahlen sind?" - Hiermit gibt es eine solche Formel:
Seien
1.: |N die Menge der natürlichen Zahlen,
2.: |P die Menge der Primzahlen,
3.: f = p eine Formel, die für die n-te natürliche Zahl diejenige Primzahl liefert, für die genau n-1 Primzahlen kleiner als p sind.
Das f links vom Gleichheitszeichen ist untypisch für eine mathematische Formel, aber für dieses spezielle Problem auch bezeichnend: Das ist eine Art Magie! (Mathematische Formel – Wikipedia

Gibt es bereits eine Formel des Types f=a, für die die Lösungen von 'x' alle Primzahlen sind?"
Suchst du eine einfache Formel, deren Ergebnis eine Primzahl liefert? - Da kann ich dir ganz viele anbieten:
- f = 2
- f = 3
- f = 5
und so weiter.
Oder suchst du eine Formel, die
1.: für jeden Parameter x eine Primzahl liefert und
2.: für alle x auch alle Primzahlen liefert?
Per Definition gibt es nur abzählbar unendlich viele Primzahlen, also können wir "x" auf die natürlichen Zahlen beschränken. Antwort: Nein.

Per Definition gibt es nur abzählbar unendlich viele Primzahlen"
Dazu brauchts keine Definition.

Gesucht ist ein Term f=a, der, würde man ihn auflösen, Primzahlen, und nur Primzahlen ausliefert.

Primzahlen, und nur Primzahlen ausliefert.": Die Funktion f = 2 liefert für *jedes* x *nur* Primzahlen.
Ok, immer dieselbe Primzahl, aber das ist im mathematischen Sinn eine Menge.

Das stimmt wohl. Vielleicht hätte ich es so schreiben sollen:
Sei |N die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist L|N = |P
Wäre nicht der Wurm drin, hätte ich eine solche Funktion inzwischen sogar

Du suchst also oE eine Abbildung f:|N->|R mit f=0 x primzahl.
Mit welchem Ziel? Die Berechnung von Primzahlen wird sich dadurch nicht vereinfachen. Eine Funktion, die in diesem Punkt einen "Zweck" erfüllt ist nicht bekannt. Das heißt nicht, dass man sich soetwas nicht künstlich konstruieren kann - aber vereinfachen wird sich dadurch nichts.
Unter Vorraussetzung der Riemann-Hypothese ist die Riemannsche Vermutung in der Tat das, was dem am nächsten kommt.

Das es eine Sackgasse ist, war mir mehr oder weniger bewusst - ohne geniales Neukonzept läuft da wohl nicht all zu viel.
Wenn man aber von der primitivsten Version der Primzahldefinition "Eine Primzahl hat nur 1 und sich selbst als Teiler" ausgeht, dann stellt sich meiner Meinung nach doch die Frage: Kann man diese Ungleichheit in eine Gleichheit umwandeln, und inwiefern kann man diese präzisieren?
Mir jedenfalls hat sich die Frage schon einige Male gestellt, diesmal hatte ich allerdings zum ersten Mal die Schlüsselteile zum zusammenfügen. Und gerade da es möglich erschien, wurde die Frage für mich nun besonders relevant - welche Auflösungen gibt es, und wie nützlich sind sie? Und wenn bisher da noch keiner auch nur auf die Sackgasse verweist, vielleicht lässt sich ja doch noch was herausholen
Inzwischen habe ich sogar ein Recht vorzeigbares Resultat - die Teilerfunktion um zwei nach unten verschoben. Ich hänge sie mal als Bild an - vielleicht ist ja von Interesse.
Desweiteren zwingt sich mir langsam der Verdacht auf, dass die Primzahlfunktion als Lösung von f=a in |R gar nicht geben kann.

Die Teileranzahlfunktion ist ein Beispiel für das, was ich mit "künstlich konstruieren" meinte: Du hast zwar jetzt eine Funktion, die per Definition das tut was du willst, die hilft dir aber nicht bei weiteren Untersuchungen.
Stetigkeit macht bei diskreten Funktionen keinen Sinn.
"Desweiteren zwingt sich mir langsam der Verdacht auf, dass die Primzahlfunktion als Lösung von f=a in |R gar nicht geben kann.".
Definiere eine erweiterte Teileranzahlfunktion mit t=c!=0 falls x nicht in |N ist. Dann hast du sowas in |R. Das Ding ist natürlich nicht mehr stetig.
Eine Funktion, die extra so gebaut ist, dass genau die Primzahlen die Nullstellen sind wird, ohne dass man weitere Überlegungen dazu anstellt, NIE eine interessante Frage über Primzahlen beantworten.
Es läuft nicht ganz so einfach nach dem 3-Punkteplan
1. Funktion vereinfachen
3.) Fields-Medaille erhalten
Dass die 2-stellen der Teileranzahlfunktion genau die Primzahlen sind ist jedem klar

Ich hab mir die Mühe zwar nicht gemacht, aber man *kann* die erweitere Funktion durchaus so definieren, dass sie stetig wird. Kommt aber auf das gleiche raus. Die ist nämlich genauso künstlich stetig gemacht worden, wie sie die Primzahlen als Nullstellen hat. Der ganze Werkzeugkoffer für stetige Funktionen ist dann vorhanden und absolut nutzlos.

Für meine mathematischen Spielereien benutze ich immer noch das Sieb des Eratosthenes (Sieb des Eratosthenes – Wikipedia