Differenzierbarkeit ist ein zentrales Konzept in der Analysis. Sie spielt eine entscheidende Rolle in der Mathematik und darüber hinaus. Um die Punkte zu identifizieren ´ an denen eine Funktion differenzierbar ist ` ist der erste Schritt die Berechnung der Ableitung. Eine Funktion gilt nur dann als differenzierbar wenn ihre Ableitung an diesen spezifischen Punkten existiert.
Neuerdings gibt es vielschichtige Diskussionen über die Relevanz der Ableitungsregeln. Nehmen wir als Beispiel die Funktion f(x). Ihre Ableitung wird als f'(x) bezeichnet. Im ersten Fall ist es wichtig zu erwähnen – für alle x in den reellen Zahlen R ist f differenzierbar. Das bedeutet konkret, dass die Ableitung f'(x) an jedem Punkt in diesem Bereich existiert. So far die Ableitung ergibt sich als: f'(x) = -2x * e^(1+x²)/(1+x²)².
Die Berechnung dieser Ableitung erfordert die Anwendung spezifischer Ableitungsregeln. Zunächst befassen wir uns mit dem ersten Teil – dem Term (-2x). Hierfür kommen die Potenzregel und die Produktregel zum Tragen. Im zweiten Teil hingegen konzentrieren wir uns auf den Ausdruck e^(1+x²)/(1+x²)². Für dessen Ableitung sind die Regeln für Exponential- und Quotientenfunktionen maßgeblich.
Sobald die Ableitung f'(x) erfolgreich ermittelt wurde müssen wir Schritt für Schritt überprüfen ob sie für jedes x im gegebenen Definitionsbereich besteht. Aber – das ist nicht alles. Im zweiten Fall wird angegeben: Die Funktion f differenzierbar bleibt, also f' existiert überall im Definitionsbereich. Um das zu bestätigen, reicht es die Ableitung für alle x zu ausarbeiten und sicherzustellen, dass – wie bereits erwähnt – keine Unstimmigkeiten bestehen. Alternativ kann man ebenfalls darauf vertrauen, dass f aus differenzierbaren Funktionen im Definitionsbereich zusammengesetzt ist – unter der Bedingung, dass der Nenner nicht null ist.
Ein entscheidender Punkt ist: Dass alle inneren Funktionen separat differenzierbar sein müssen. Wenn an irgendeiner Stelle die Ableitung fehlt, bleibt der Status der Differenzierbarkeit fraglich. Das gilt besonders in Bezug auf die Grenzen des betrachteten Intervalls. Stimmt die Ableitung an den Randpunkten nicht überein wird die Funktion an diesen Punkten als nicht differenzierbar klassifiziert.
Im Konder vorliegenden Informationen erweist sich als kritisch, dass f an den Punkten x = 0 und x = 1 die Ableitungen nicht übereinstimmen. Dieser Umstand verweist eindeutig darauf: Dass die Funktion an diesen beiden Stellen nicht differenzierbar ist.
Abschließend lässt sich festhalten – um die Punkte zu identifizieren an denen eine Funktion differenzierbar ist sollten Sie die Ableitung ausrechnen und deren Existenz im gesamten Definitionsbereich hinterfragen. Um die tatsächlichen Werte der Ableitung zu ermitteln ist die Anwendung der Ableitungsregeln ein Muss. Zudem bleibt der Hinweis wichtig: Wenn die Ableitungen an den Grenzen von Intervallen nicht identisch sind, so entsteht an diesen Positionen ein direkter Verlust der Differenzierbarkeit.
Differenzierbarkeit und Ableitung: Wie bestimmt man die Punkte x, an denen eine Funktion differenzierbar ist und wie berechnet man dort den Wert der Ableitung?
Wie ermittelt man die Differenzierbarkeit von Funktionen und ihre Ableitungen?