Um die Punkte x zu bestimmen an denen eine Funktion differenzierbar ist muss man zunächst die Ableitung der Funktion bestimmen. Eine Funktion ist differenzierbar an allen Stellen an denen die Ableitung existiert. Daher muss man die Ableitung der Funktion berechnen und prüfen, ob sie für alle x im Definitionsbereich existiert.
Im vorliegenden Text wird die Funktion f(x) betrachtet. Die Ableitung der Funktion f(x) ist f'(x). In Fall i) wird angegeben, dass f auf dem gesamten Definitionsbereich R differenzierbar ist. Dies bedeutet, dass die Ableitung f'(x) für alle x in R existiert. Die Ableitung f'(x) kann mit Hilfe der Ableitungsregeln berechnet werden. In diesem Fall beträgt die Ableitung f'(x) = -2x * e^(1+x^2)/(1+x^2)^2.
Um die Ableitung der Funktion f'(x) zu berechnen, müssen die Ableitungsregeln angewendet werden. Für den ersten Teil der Funktion (-2x) gelten die Regeln der Potenzregel und der Produktregel. Für den zweiten Teil der Funktion (e^(1+x^2)/(1+x^2)^2) gelten die Regeln für die Ableitung von Exponential- und Quotientenfunktionen.
Nachdem die Ableitung f'(x) berechnet wurde muss man prüfen ob sie für alle x im Definitionsbereich existiert. In Fall ii) wird angegeben, dass f differenzierbar ist, weil f' für alle x im Definitionsbereich existiert. Dies kann entweder berechnet werden, indem man die Ableitung f'(x) für alle x im Definitionsbereich überprüft oder indem man feststellt dass f aus im Definitionsbereich differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist und der Nenner ungleich null ist.
Es ist wichtig zu beachten: Dass für jede einzelne Funktion im Definitionsbereich die Ableitung existieren muss oder dass die Funktion aus im Definitionsbereich differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist. Außerdem müssen die Ableitungen an den Intervallgrenzen übereinstimmen. Wenn die Ableitungen nicht übereinstimmen ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.
Im vorliegenden Text wird ebenfalls angegeben: Die Ableitung an der Stelle x = 0 nicht mit der Ableitung an der Stelle x = 1 übereinstimmt. Daher ist die Funktion f an den Stellen x = 0 und x = 1 nicht differenzierbar.
Zusammenfassend kann man sagen, dass man die Punkte x, an denen eine Funktion differenzierbar ist bestimmen kann indem man die Ableitung der Funktion berechnet und prüft, ob sie für alle x im Definitionsbereich existiert. Um den Wert der Ableitung an diesen Punkten zu berechnen muss man die Ableitungsregeln anwenden. Es ist auch wichtig zu beachten, dass die Ableitungen an den Intervallgrenzen übereinstimmen müssen, ansonsten ist die Funktion an diesen Stellen nicht differenzierbar.
Differenzierbarkeit und Ableitung: Wie bestimmt man die Punkte x, an denen eine Funktion differenzierbar ist und wie berechnet man dort den Wert der Ableitung?
Wie bestimmt man alle Punkte x, für die eine Funktion differenzierbar ist und wie berechnet man dort den Wert der Ableitung?