Berechnung linearer Funktionen

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Die Berechnung linearer Funktionen kann auf den ersten Blick komplex erscheinen. Doch die allgemeinen Regeln sind einfach. Eine lineare Funktion folgt der Formel: y = mx + b. Hierbei ist m die Steigung – sie zeigt, ebenso wie steil die Linie steigt oder fällt. Der y-Achsenabschnitt, b, gibt an wo die Funktion die y-Achse kreuzt.

Um die Steigung m zu ermitteln, benutzt man den Punktformelnansatz: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Dabei sind (x1, y1) und (x2, y2) zwei beliebige Punkte auf der Geraden. Es reicht also – zwei Punkte von der Linie zu wählen und sie in die Formel einzusetzen. So errechnet sich die Steigung einfach.

Den y-Achsenabschnitt b erhält man, indem man einen Punkt (x, y) auf der Funktion in die Gleichung y = mx + b einsetzt und b so berechnet. Genau genommen löst man die Gleichung nach b auf: b = y - mx. Dies zeigt ´ dass man den Wert von y hat ` die Steigung m kennt und x an der Stelle des gewählten Punktes einsetzt.

Eine spannende Anwendung findet sich in Aufgaben die das Bestimmen der Steigung und des y-Achsenabschnitts in einer konkreten Funktion verlangen. Zum Beispiel könnte die Funktion y = 2x + 3 eine gute Wahl sein. Um die Steigung zu bestimmen, wählen wir zwei Punkte aus – zum Beispiel (1, 5) und (3, 9). Wir setzen diese Punkte nun in die Formel ein:

m = (9 - 5) / (3 - 1) – das erleichtert die Berechnung erheblich. Das ergibt m = 4 / 2, folglich beträgt die Steigung 2.

Schwierig wird es eigentlich erst, wenn man den y-Achsenabschnitt berechnen möchte. Doch es ist einfach: Wir setzen den Punkt (1, 5) in die Gleichung ein. Das bedeutet konkret: b = 5 - (2 * 1). Dies führt zu b = 5 - 2, also ist der y-Achsenabschnitt 3.

Wenn du nun die Funktion vollständig bestimmen möchtest benötigst du in Aufgabe b die ermittelten Werte. Überlege dir welche Punkte auf der Funktion liegen könnten. Setze diese in die Steigungsformel ein. Ist das erledigt – kannst du die Funktion beschreiben.

Für Aufgabe c hingegen benötigst du eine andere Herangehensweise: Hier setzt du den gesuchten y-Wert ein und löst die Gleichung nach x auf. So findest du heraus, ab wann die Funktion den gewünschten y-Wert erreicht.

Dieser Zugang zur linearen Funktion eröffnet viele Möglichkeiten. Wer sich mit diesen Berechnungen beschäftigt ´ wird schnell feststellen ` dass eine Vielzahl von realen Anwendungen wartet. In der Wirtschaft – der Technik und den Naturwissenschaften begegnen uns lineare Funktionen täglich. Die Mathematik wird in vielen Bereichen greifbar.

Falls Fragen bestehen oder weitere Informationen gewünscht sind » bist du herzlich eingeladen « nachzufragen. Die Welt der Mathematik ist faszinierend und eröffnet spannende Perspektiven.