Berechnung linearer Funktionen
Wie berechnet man Steigung und y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion?
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Die Berechnung linearer Funktionen kann auf den ersten Blick komplex erscheinen. Doch die allgemeinen Regeln sind einfach. Eine lineare Funktion folgt der Formel: y = mx + b. Hierbei ist m die Steigung – sie zeigt, ebenso wie steil die Linie steigt oder fällt. Der y-Achsenabschnitt, b, gibt an wo die Funktion die y-Achse kreuzt.
Um die Steigung m zu ermitteln, benutzt man den Punktformelnansatz: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Dabei sind (x1, y1) und (x2, y2) zwei beliebige Punkte auf der Geraden. Es reicht also – zwei Punkte von der Linie zu wählen und sie in die Formel einzusetzen. So errechnet sich die Steigung einfach.
Den y-Achsenabschnitt b erhält man, indem man einen Punkt (x, y) auf der Funktion in die Gleichung y = mx + b einsetzt und b so berechnet. Genau genommen löst man die Gleichung nach b auf: b = y - mx. Dies zeigt ´ dass man den Wert von y hat ` die Steigung m kennt und x an der Stelle des gewählten Punktes einsetzt.
Eine spannende Anwendung findet sich in Aufgaben die das Bestimmen der Steigung und des y-Achsenabschnitts in einer konkreten Funktion verlangen. Zum Beispiel könnte die Funktion y = 2x + 3 eine gute Wahl sein. Um die Steigung zu bestimmen, wählen wir zwei Punkte aus – zum Beispiel (1, 5) und (3, 9). Wir setzen diese Punkte nun in die Formel ein:
m = (9 - 5) / (3 - 1) – das erleichtert die Berechnung erheblich. Das ergibt m = 4 / 2, folglich beträgt die Steigung 2.
Schwierig wird es eigentlich erst, wenn man den y-Achsenabschnitt berechnen möchte. Doch es ist einfach: Wir setzen den Punkt (1, 5) in die Gleichung ein. Das bedeutet konkret: b = 5 - (2 * 1). Dies führt zu b = 5 - 2, also ist der y-Achsenabschnitt 3.
Wenn du nun die Funktion vollständig bestimmen möchtest benötigst du in Aufgabe b die ermittelten Werte. Überlege dir welche Punkte auf der Funktion liegen könnten. Setze diese in die Steigungsformel ein. Ist das erledigt – kannst du die Funktion beschreiben.
Für Aufgabe c hingegen benötigst du eine andere Herangehensweise: Hier setzt du den gesuchten y-Wert ein und löst die Gleichung nach x auf. So findest du heraus, ab wann die Funktion den gewünschten y-Wert erreicht.
Dieser Zugang zur linearen Funktion eröffnet viele Möglichkeiten. Wer sich mit diesen Berechnungen beschäftigt ´ wird schnell feststellen ` dass eine Vielzahl von realen Anwendungen wartet. In der Wirtschaft – der Technik und den Naturwissenschaften begegnen uns lineare Funktionen täglich. Die Mathematik wird in vielen Bereichen greifbar.
Falls Fragen bestehen oder weitere Informationen gewünscht sind » bist du herzlich eingeladen « nachzufragen. Die Welt der Mathematik ist faszinierend und eröffnet spannende Perspektiven.
Die Berechnung linearer Funktionen kann auf den ersten Blick komplex erscheinen. Doch die allgemeinen Regeln sind einfach. Eine lineare Funktion folgt der Formel: y = mx + b. Hierbei ist m die Steigung – sie zeigt, ebenso wie steil die Linie steigt oder fällt. Der y-Achsenabschnitt, b, gibt an wo die Funktion die y-Achse kreuzt.
Um die Steigung m zu ermitteln, benutzt man den Punktformelnansatz: m = (y2 - y1) / (x2 - x1). Dabei sind (x1, y1) und (x2, y2) zwei beliebige Punkte auf der Geraden. Es reicht also – zwei Punkte von der Linie zu wählen und sie in die Formel einzusetzen. So errechnet sich die Steigung einfach.
Den y-Achsenabschnitt b erhält man, indem man einen Punkt (x, y) auf der Funktion in die Gleichung y = mx + b einsetzt und b so berechnet. Genau genommen löst man die Gleichung nach b auf: b = y - mx. Dies zeigt ´ dass man den Wert von y hat ` die Steigung m kennt und x an der Stelle des gewählten Punktes einsetzt.
Eine spannende Anwendung findet sich in Aufgaben die das Bestimmen der Steigung und des y-Achsenabschnitts in einer konkreten Funktion verlangen. Zum Beispiel könnte die Funktion y = 2x + 3 eine gute Wahl sein. Um die Steigung zu bestimmen, wählen wir zwei Punkte aus – zum Beispiel (1, 5) und (3, 9). Wir setzen diese Punkte nun in die Formel ein:
m = (9 - 5) / (3 - 1) – das erleichtert die Berechnung erheblich. Das ergibt m = 4 / 2, folglich beträgt die Steigung 2.
Schwierig wird es eigentlich erst, wenn man den y-Achsenabschnitt berechnen möchte. Doch es ist einfach: Wir setzen den Punkt (1, 5) in die Gleichung ein. Das bedeutet konkret: b = 5 - (2 * 1). Dies führt zu b = 5 - 2, also ist der y-Achsenabschnitt 3.
Wenn du nun die Funktion vollständig bestimmen möchtest benötigst du in Aufgabe b die ermittelten Werte. Überlege dir welche Punkte auf der Funktion liegen könnten. Setze diese in die Steigungsformel ein. Ist das erledigt – kannst du die Funktion beschreiben.
Für Aufgabe c hingegen benötigst du eine andere Herangehensweise: Hier setzt du den gesuchten y-Wert ein und löst die Gleichung nach x auf. So findest du heraus, ab wann die Funktion den gewünschten y-Wert erreicht.
Dieser Zugang zur linearen Funktion eröffnet viele Möglichkeiten. Wer sich mit diesen Berechnungen beschäftigt ´ wird schnell feststellen ` dass eine Vielzahl von realen Anwendungen wartet. In der Wirtschaft – der Technik und den Naturwissenschaften begegnen uns lineare Funktionen täglich. Die Mathematik wird in vielen Bereichen greifbar.
Falls Fragen bestehen oder weitere Informationen gewünscht sind » bist du herzlich eingeladen « nachzufragen. Die Welt der Mathematik ist faszinierend und eröffnet spannende Perspektiven.