Bei der grafischen Ableitung von Funktionen werden die Ableitungsfunktionen anhand der Steigung des Graphen der Funktion gebildet. Dies bedeutet, dass die Ableitungsfunktion die Änderungsrate der Funktion an jedem Punkt angibt.
In den gegebenen Beispielen sind einige Graphen linear, während andere nicht-lineare Funktionen wie Parabeln darstellen.
Für die linearen Funktionen (Graph II und III) kann die Ableitung leicht abgelesen werden, da lineare Funktionen eine dauerhafte Steigung haben. Die grünen Geraden in den Beispielen sind lineare Funktionen, bei denen die Steigung konstant ist. Daher haben die Ableitungsfunktionen die orangen Geraden, an jedem Punkt den gleichen Funktionswert und sind genau zur x-Achse.
Bei den nicht-linearen Funktionen (Graph I und IV) ist es schwieriger die Ableitungen direkt abzulesen. Allerdings kann man die Steigung an bestimmten gut erkennbaren Punkten des Graphen mithilfe einer Tangente approximieren und so eine Näherung der Ableitungsfunktion erhalten. Dies kann zum Beispiel durch das Zeichnen einer Tangente an einen ablesbaren Punkt des Graphen geschehen.
Im Fall von Graph I könnte man sich überlegen: Dass der Graph vor dem Scheitelpunkt steigt und danach fällt. Dies muss sich in der Ableitungsfunktion widerspiegeln. Daher muss die Ableitungsfunktion positiv sein, bis sie bei x=0 das Maximum erreicht und danach negativ werden. Eine Näherung der Ableitungsfunktion kann durch das Zeichnen einer Tangente am Punkt P des grünen Graphen und dem Ablesen der Steigung dieser Tangente ermittelt werden.
Bei nicht-linearen Funktionen können die Steigungswerte nicht so leicht berechnet werden wie bei linearen Funktionen, besonders wenn die Funktion stark gestaucht oder gestreckt ist. Daher ist es oft nützlich Näherungen der Ableitungsfunktion mithilfe von Tangenten zu verwenden.
Zusammenfassend lässt sich sagen: Dass lineare Funktionen eine konstante Steigung haben und deshalb können die Ableitungen direkt abgelesen werden. Bei nicht-linearen Funktionen sind die Ableitungen schwerer abzulesen und können durch das Zeichnen von Tangenten approximiert werden.
Grafische Ableitung von Funktionen erklärt
Warum setzt man bei einigen Graphen sehr weit oben an, um die Ableitung zu bilden? Wie kann die Steigung bei nicht-linearen Funktionen abgelesen werden?