Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b bestimmen und anschließend den Umfang U des Rechtecks als Funktion von a und b aufstellen. Dann können wir die Funktion für den Umfang minimieren um die gesuchten Seitenlängen des Grundstücks zu finden.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich durch das Produkt der Seitenlängen:
A = a * b
Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Seitenlängen:
U = 2a + 2b
Um den Umfang minimal zu machen müssen wir die Funktion für U in Abhängigkeit von a oder b ableiten und die Ableitung null setzen. Da es sich hier um ein rechteckiges Grundstück handelt ´ kann man davon ausgehen ` dass a und b positive Werte haben.
Zuerst leiten wir U nach a ab:
dU/da = 2
Setzen wir nun die Ableitung genauso viel mit null:
2 = 0
Da dies klar nicht stimmt können wir den Umfang U nicht durch die Ableitung nach a minimieren.
Nun leiten wir U nach b ab:
dU/db = 2
Setzen wir die Ableitung gleich null:
2 = 0
Auch hier ist die Ableitung nicht null sodass wir den Umfang U nicht durch die Ableitung nach b minimieren können.
Daher müssen wir eine andere Methode verwenden um den minimalen Umfang zu finden.
Wir nehmen an » dass die Seiten des Rechtecks gleich lang sind « d.h. a = b. Da der Flächeninhalt des Rechtecks 400m² beträgt, können wir dies in die Gleichung für den Flächeninhalt einsetzen:
400 = a * a
Um die Seitenlänge a zu berechnen, nehmen wir die Quadratwurzel auf beiden Seiten:
√400 = √(a * a)
20 = a
Somit ist die Seitenlänge des Rechtecks a = 20m und b = 20m, sodass der Flächeninhalt 400m² beträgt und der Umfang minimal ist.
Minimale Seitenlängen für ein rechteckiges Grundstück mit gegebenem Flächeninhalt
Wie lang müssen die Seiten eines rechteckigen Grundstücks gewählt werden, damit der Flächeninhalt 400m² beträgt und der Umfang minimal ist?