Um die Länge der Rechteckseiten zu berechnen und den Flächeninhalt maximal zu gestalten, müssen wir den gegebenen Umfang nutzen.
Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet U = 2 * (l+b), obwohl dabei l die Länge und b die Breite des Rechtecks sind.
In der Aufgabe haben wir einen Draht mit der Länge 20 cm der eine rechteckige Fläche umrahmen soll. Wir möchten die Seitenlängen des Rechtecks finden sodass der Flächeninhalt maximal ist.
Wir setzen die gegebene Länge des Drahts in die Umfangsformel ein und erhalten:
20 cm = 2 * (l + b)
Um den Flächeninhalt zu maximieren, setzen wir die Formel für die Fläche eines Rechtecks ein: F = l * b.
Die Formel für den Umfang des Rechtecks lässt sich umformen um eine der Größen als Funktion einer Variablen auszudrücken. Wir erhalten:
l = 10 cm - b
Jetzt setzen wir diese Gleichung in die Formel für den Flächeninhalt ein:
F = (10 cm - b) b = 10 cm b - b^2
Um den Flächeninhalt maximal zu gestalten, nehmen wir die Ableitung der Funktion F nach b und setzen sie genauso viel mit null um den kritischen Punkt zu finden:
F' = 10 cm - 2b = 0
Daraus folgt:
b = 5 cm
Damit haben wir die Breite des Rechtecks gefunden.
Um die Länge des Rechtecks zu finden, setzen wir den Wert für b in die Gleichung l = 10 cm - b ein:
l = 10 cm - 5 cm = 5 cm
Die Seitenlängen des Rechtecks die den Flächeninhalt maximieren, sind also 5 cm und 5 cm.
Um zu überprüfen ob dies tatsächlich ein Maximum ist nehmen wir die zweite Ableitung der Funktion F nach b. Wenn F'' < 0 ist, handelt es sich um ein Maximum.
F'' = -2
Da F'' negativ ist, liegt tatsächlich ein Maximum vor.
Somit haben wir die Seitenlängen des Rechtecks berechnet um den Flächeninhalt maximal zu gestalten. Die Seitenlängen betragen 5 cm und 5 cm.
Maximale Fläche eines Rechtecks mit gegebenem Umfang
Wie kann ich die Länge der Seiten eines Rechtecks berechnen, um den Flächeninhalt maximal zu gestalten?