Maximale Fläche eines Rechtecks mit gegebenem Umfang
Wie können wir die Seitenlängen eines Rechtecks bestimmen, um bei gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt zu erreichen?
Die Bestimmung der maximalen Fläche eines Rechtecks mit festgelegtem Umfang ist ein spannendes mathematisches Problem. In der Geometrie spielen Rechtecke eine zentrale Rolle. Nehmen wir an – wir haben einen Draht mit einer Gesamtlänge von 20 cm. Interessant ist nun die Frage – wie können wir die Seitenlängen l und b so wählen, dass die Fläche F maximiert wird?
Die grundlegende Formel für den Umfang U eines Rechtecks lautet: U = 2 * (l + b). Wenn wir diese Formel anwenden, bleibt die Herausforderung, den Flächeninhalt zu maximieren – und dieser wird durch die Funktion F = l * b beschrieben.
Um die Längenlängen zu ermitteln setzen wir unsere Gegebenheiten in die Umfangsformel ein. Das ergibt für unseren Draht:
20 cm = 2 * (l + b) oder anders formuliert – l + b = 10 cm.
Hier wird klar: Dass wir eine Beziehung zwischen der Länge und der Breite gefunden haben. Um die Fläche F zu maximieren, setzen wir eine der Variablen als Funktion der anderen dar. Wir entscheiden uns dafür b in Abhängigkeit von l auszudrücken oder umgekehrt, ebenso wie es in unserer Situation der Fall ist.
Setzen wir also l = 10 cm - b in die Flächenformel ein:
F = (10 cm - b) b = 10 cm b - b².
In der Mathematik ist es üblich maximale Punkte durch Ableitung zu bestimmen. Wir nehmen die Ableitung F' und setzen sie genauso viel mit null um kritische Punkte zu finden:
F' = 10 cm - 2b = 0.
Läuft es gut stellt dies den ersten Schritt dar. Bei dieser Gleichung erhalten wir durch Umstellung b = 5 cm. Jetzt haben wir eine der gesuchten Dimensionen.
Wenden wir b = 5 cm an um die Länge l zu finden. Also gilt:
l = 10 cm - b = 10 cm - 5 cm = 5 cm.
Zufall oder nicht – beide Dimensionen sind identisch – 5 cm und 5 cm. Ein Quadrat? Ja, in diesem speziellen Fall maximiert es tatsächlich den Flächeninhalt.
Doch wie sichern wir uns ab, dass wir tatsächlich ein Maximum erreicht haben? Hier kommt die zweite Ableitung ins Spiel. Der Test entscheidet sich für F'':
F'' = -2. Hier wird schnell klar, wenn F'' < 0 ist, sprechen wir von einem Maximum.
Das Ergebnis: F'' ist negativ – dadurch haben wir unser Maximum gefunden. Das Rechteck in diesem Fall erweist sich als Quadrat das optimalen Flächeninhalt bietet.
Zusammenfassend lässt sich sagen – die Seitenlängen eines Rechtecks mit einem Umfang von 20 cm die den Flächeninhalt maximieren, sind 5 cm und 5 cm. Diese einfache trotzdem elegante Lösung unterstreicht die Tiefe mathematischer Fragestellungen und deren Lösung durch innovative Denkansätze.