Um die Schnittpunkte der beiden Funktionen f(x) = -sin(x) und g(x) = 0⸴5 cos(x) zu berechnen, musst du die beiden Gleichungen gleichsetzen und nach x auflösen.
Der Ansatz den du bereits gewählt hast ist richtig. Du setzt die Funktionen gleich: -sin(x) = 0⸴5 cos(x).
Um diese Gleichung weiter zu vereinfachen, kannst du die Beziehung sin^2(x) + cos^2(x) = 1 verwenden.
Setze cos^2(x) in der Gleichung -sin(x) = 0⸴5 cos(x) ein: -sin(x) = 0⸴5 * sqrt(1 - sin^2(x)).
Quadriere nun beide Seiten der Gleichung und löse nach sin(x) auf: sin^2(x) = 0⸴25 * (1 - sin^2(x)).
Expandiere die Gleichung: sin^2(x) = 0⸴25 - 0⸴25 * sin^2(x).
Nun bringe alle Terme mit sin^2(x) auf eine Seite: 1⸴25 * sin^2(x) = 0⸴25.
Teile beide Seiten der Gleichung durch 1⸴25: sin^2(x) = 0⸴2.
Nehme die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung: sin(x) = ±sqrt(0,2).
Nun musst du die Werte für sin(x) berechnen. Die Quadratwurzel von 0⸴2 ist ±0,447.
Setze die Werte für sin(x) in die ursprüngliche Gleichung -sin(x) = 0⸴5 cos(x) ein und löse nach x auf.
Für sin(x) = 0⸴447 erhältst du: -0,447 = 0⸴5 cos(x).
Teile beide Seiten der Gleichung durch 0⸴5: -0,894 = cos(x).
Nimm den Arcuscosinus auf beiden Seiten der Gleichung: x = arccos(-0,894).
Mit einem Taschenrechner kannst du den Wert für arccos(-0,894) berechnen und erhältst x
2⸴686.
Die Berechnung für sin(x) = -0,447 liefert das gleiche Ergebnis, da cosinusfunktionen gerade sind und sich periodisch wiederholen.
Die beiden Funktionen f(x) = -sin(x) und g(x) = 0⸴5 cos(x) haben deshalb einen Schnittpunkt bei x
2⸴686.
Passt auf : Dass sich die Schnittpunkte periodisch wiederholen, da sowie Sinus- als ebenfalls Cosinusfunktionen periodisch sind. Du kannst daher weitere Schnittpunkte berechnen, indem du den gefundenen Schnittpunkt um ein Vielfaches von 2π verschiebst. Beispielsweise liegt ein weiterer Schnittpunkt bei x
2⸴686 + 2π
8⸴113.
Berechnung der Schnittpunkte von Sinus- und Cosinusfunktion
Wie kann ich die Schnittpunkte der Funktionen f = -sin(x) und g = 0,5 cos(x) berechnen?