Die Forschung zu den Schnittpunkten von trigonometrischen Funktionen - ein spannendes Thema! Um die Schnittstellen von f(x) = -sin(x) und g(x) = 0⸴5 cos(x) zu bestimmen, beginne damit die beiden Funktionen gleichzusetzen. Setze die Gleichung auf: -sin(x) = 0⸴5 cos(x).
Zunächst kannst du die Identität sin²(x) + cos²(x) = 1 benutzen um die Gleichung zu vereinfachen. Ein einfaches Verfahren jetzt: Ersetze cos²(x) durch 1 - sin²(x). Damit erhältst du die Gleichung: -sin(x) = 0⸴5 * sqrt(1 - sin²(x)).
Nun quadriere beide Seiten. Dies führt zu: sin²(x) = 0⸴25 * (1 - sin²(x)). Das mag auf den ersten Blick komplex erscheinen - das ist es aber nicht! Du expandierst: sin²(x) = 0⸴25 - 0⸴25 sin²(x).
Schritt für Schritt bringst du alle sin²(x) Terme auf eine Seite: 1⸴25 sin²(x) = 0⸴25. Nun teile jede Seite durch 1⸴25. Das Ergebnis: sin²(x) = 0⸴2. Nimm jetzt die Quadratwurzel auf beiden Seiten: sin(x) = ±sqrt(0,2).
Beim Berechnen der Werte für sin(x) erhältst du die Lösung - und zwar ±0,447. Setze diese Werte zurück in die ursprüngliche Gleichung ein: -sin(x) = 0⸴5 cos(x). Beginne mit sin(x) = 0⸴447. Das ergibt: -0,447 = 0⸴5 cos(x).
Jetzt ist es an der Zeit die Gleichung nach cos(x) aufzulösen. Teile durch 0⸴5 und finde: -0,894 = cos(x). Besondere Momente erfordern besondere Maßnahmen - nimm den Arcuscosinus: x = arccos(-0,894).
Der Taschenrechner verrät dir dann: x
2⸴686. Beeindruckt? Die Symmetrie der Cosinusfunktion spielt eine Rolle. Der Wert aus der Berechnung von sin(x) = -0,447 führt beim Einsetzen in die gleiche Gleichung zu demselben Ergebnis.
Jetzt wird es spannend. Die Funktionen f(x) = -sin(x) und g(x) = 0⸴5 cos(x) treffen sich also bei x
2⸴686. Aber da ist mehr! Da Sinus- und Cosinusfunktionen als periodisch gelten, wiederholen sich diese Schnittpunkte kontinuierlich. Um einen weiteren Punkt zu finden, addiere 2π zu deinem ursprünglichen Schnittpunkt. Das ergibt x
2⸴686 + 2π, also x
8⸴113.
Ich hoffe diese detaillierte Strategie hilft dir weiter. Die Berechnung von Schnittpunkten zwischen Sinus und Cosinus zeigt eindrucksvoll die Schönheit und Harmonie der Mathematik!
Berechnung der Schnittpunkte von Sinus- und Cosinusfunktion
Wie berechnet man die Schnittpunkte der Funktionen f = -sin(x) und g = 0,5 cos(x)?