Die Trigonometrie, genauer gesagt die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens, ermöglichen es uns die fehlenden Seitenlängen eines Dreiecks zu berechnen, wenn wir die Winkel und eine Seite kennen.
Sinus Kosinus und Tangens sind Verhältnisfunktionen die in einem rechtwinkligen Dreieck definiert sind. Um die Anwendung dieser Funktionen zu verstehen, betrachten wir zunächst den Aufbau eines rechtwinkligen Dreiecks:
Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus einem rechten Winkel (90 Grad) und zwei Katheten die den Winkel einschließen und ebenfalls der Hypotenuse die der gegenüberliegenden Seite des rechten Winkels entspricht.
Die Sinus-Funktion (sin) gibt das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Seite gegenüber dem Winkel) zur Hypotenuse an. Der Kosinus (cos) gibt das Verhältnis der Länge der Ankathete (Seite anliegend zum Winkel) zur Hypotenuse an. Der Tangens (tan) gibt das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Ankathete an.
Nun zur Anwendung der trigonometrischen Funktionen bei der Berechnung der Seitenlängen eines Dreiecks:
1) Gegeben sind der Winkel und die Gegenkathete:
Wenn der Winkel und die Gegenkathete gegeben sind können wir den Sinus verwenden um die Länge der Hypotenuse zu berechnen. Dafür stellen wir die folgende Gleichung auf: sin(Winkel) = Gegenkathete/Hypotenuse. Wir isolieren die Hypotenuse und erhalten: Hypotenuse = Gegenkathete/sin(Winkel).
2) Gegeben sind der Winkel und die Ankathete:
Wenn der Winkel und die Ankathete gegeben sind können wir den Kosinus verwenden um die Länge der Hypotenuse zu berechnen. Dafür stellen wir die folgende Gleichung auf: cos(Winkel) = Ankathete/Hypotenuse. Wir isolieren die Hypotenuse und erhalten: Hypotenuse = Ankathete/cos(Winkel).
Mit Hilfe des Sinus oder Kosinus können wir nun die fehlenden Seitenlängen berechnen.
Es ist wichtig zu beachten » dass dies nur funktioniert « wenn immer ebendies eine unbekannte Seite zu berechnen ist. Wenn mehrere unbekannte Seiten gegeben sind, muss man andere Methoden, ebenso wie zum Beispiel den Satz des Pythagoras oder den Kosinussatz, anwenden.
Um die fehlende Seite zu berechnen setzt man die Werte in die entsprechende Gleichung ein und löst diese nach der unbekannten Seite auf.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass man Sinus, Kosinus und Tangens anwendet um die fehlenden Seitenlängen eines Dreiecks zu berechnen, wenn genau eine unbekannte Seite gegeben ist. Man verwendet Sinus, wenn der Winkel und die Gegenkathete bekannt sind, Kosinus wenn der Winkel und die Ankathete bekannt sind und den Tangens wenn der Winkel und die Gegenkathete sowie die Ankathete bekannt sind.
Anwendung von Sinus, Kosinus und Tangens zur Berechnung der Seitenlängen eines Dreiecks
Wie berechne ich die fehlenden Seitenlängen eines Dreiecks, wenn nur die Winkel und eine Seite gegeben sind?