Anwendung von Sinus, Kosinus und Tangens zur Berechnung der Seitenlängen eines Dreiecks

Das Thema der trigonometrischen Funktionen ist unumgänglich in der Geometrie. Insbesondere wenn es darum geht die Seitenlängen eines Dreiecks zu berechnen spielen Sinus Kosinus und Tangens eine Schlüsselrolle. Dies gilt vor allem – wenn einer der Winkel und mindestens eine Seite bekannt ist. Aber wie funktioniert das genau?

Der Sinus der Kosinus und der Tangens - diese Funktionen definieren sich über das rechtwinklige Dreieck. Man stelle sich vor – dieses Dreieck hat einen rechten Winkel von 90 Grad. Zwei Seiten verlaufen zum Winkel wir sprechen hier von den Katheten. Die dritte Seite ´ die Hypotenuse ` liegt dem rechten Winkel gegenüber. So weit so klar.

Nehmen wir die Sinus-Funktion: Sie bildet das Verhältnis zwischen der Länge der Gegenkathete und der Hypotenuse ab. Der Kosinus funktioniert ähnlich und beschreibt das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse. Schließlich gibt uns der Tangens das Verhältnis zwischen der Gegenkathete und der Ankathete. Diese Konzepte sind grundlegend für viele Anwendungen in der Trigonometrie.

Jetzt wird es praktisch: Kommen wir zu den konkreten Anwendungsmöglichkeiten die wir haben.

1) Fehlt die Hypotenuse jedoch der Winkel und die Gegenkathete sind gegeben.
In diesem Szenario verwenden wir den Sinus. Die dazugehörige Gleichung lautet: sin(Winkel) = Gegenkathete / Hypotenuse. Um die Hypotenuse zu isolieren, stellen wir um: Hypotenuse = Gegenkathete / sin(Winkel). Ganz einfach.

2) Fehlt ähnlich wie die Hypotenuse freilich sind der Winkel und die Ankathete bekannt?
Hier kommt der Kosinus ins Spiel: cos(Winkel) = Ankathete / Hypotenuse. Die Umformung ist ebenfalls hier gleich: Hypotenuse = Ankathete / cos(Winkel).

Hierbei ist zu beachten: Dass die verwendete Funktion immer davon abhängt welche Seiten und Winkel bekannt sind. Die Einfachheit dieser Formeln verschleiert jedoch, dass immer nur eine unbekannte Seite berechnet werden kann. Wenn mehrere Seiten unbekannt sind ist es an der Zeit, auf andere Methoden zurückzugreifen - etwa den Satz des Pythagoras oder den Kosinussatz.

Man setzt einfach die gegebenen Werte in die Gleichungen ein und schon lässt sich die fehlende Seite ermitteln. Bei der Berechnung ist allerdings größte Präzision gefragt. Jeder Fehler kann das Resultat beeinträchtigen.

Zusammenfassend lt. der Materie: Die Anwendung von Sinus, Kosinus und Tangens ist zentral. Es wird immer weiterhin als deutlich ´ dass wir diese Funktionen nutzen können ` um unbekannte Seitenlängen in einem Dreieck zu bestimmen. Anhand des Beispiels wird klar – dass die Wahl der richtigen Funktion zentral ist. Wenn Sie nur eine Seite und den entsprechenden Winkel kennen sind Sie mit diesen trigonometrischen Funktionen bestens gerüstet um die Lösungen zu finden.