Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck stehen Sinus, Kosinus und Seitenlängen in einem bestimmten Zusammenhang zueinander. Dieser Zusammenhang beruht auf der Definition von Sinus und Kosinus in einem Einheitskreis, bei dem die Hypotenuse des Dreiecks ebendies eine Einheit lang ist.

Um die Zusammenhänge zu verstehen betrachten wir die Definition von Sinus und Kosinus in einem Einheitskreis. Ein Einheitskreis ist ein ⭕ mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt. Die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis entsprechen dem Sinus bzw․ dem Kosinus des Winkels, den der Radius dieses Punktes mit der positiven x-Achse bildet.

Im rechtwinkligen Dreieck stehen die beiden Katheten, also die beiden Seiten die den rechten Winkel einschließen, im Zusammenhang mit dem Sinus und dem Kosinus des Winkels der gegenüber der Hypotenuse liegt. Die Hypotenuse des Dreiecks ist dabei genau die Verbindungslinie zwischen den beiden Endpunkten der Katheten.

Der Sinus des Winkels ist definiert als das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Länge der Hypotenuse. In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse 1 ist also der Sinus des Winkels genauso viel mit der Länge der Gegenkathete. Entsprechend ist der Kosinus des Winkels definiert als das Verhältnis der Länge der Ankathete zur Länge der Hypotenuse. In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse 1 ist also der Kosinus des Winkels gleich der Länge der Ankathete.

In der Formel X = C/sin a die du in deiner Frage erwähnt hast steht X für die Ankathete C für die Hypotenuse und a für den Winkel gegenüber der Ankathete. Wenn die Hypotenuse 1 ist, vereinfacht sich die Formel zu X = 1/sin a, also X = sin a. Dies bedeutet – dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse 1 der Kosinus des Winkels gleich der Länge der Ankathete ist.

Ebenso ist Y = sin a, also der Sinus des Winkels gleich der Länge der Gegenkathete. Die Gleichung X² + Y² = 1² die du erwähnt hast ist die bekannte Gleichung des Einheitskreises. Sie besagt, dass die Quadrate der Sinus- und Kosinuswerte eines Winkels zusammen immer 1 ergeben, wenn die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks 1 ist.

Wenn die Hypotenuse des Dreiecks nicht 1 ist müssen die Seitenlängen identisch angepasst werden. In diesem Fall kann man die Seitenlängen mit dem Verhältnis zur Hypotenuse multiplizieren ´ um den Zusammenhang zwischen Sinus ` Kosinus und Seitenlängen beizubehalten.

Insgesamt ist der Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck nur dann möglich, wenn die Hypotenuse 1 ist. Dies liegt daran, dass sin und cos in einem Einheitskreis definiert sind und dort die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis darstellen. In einem rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse 1 entsprechen die Kathetenlängen genau den Sinus- und Kosinuswerten des Winkels.