Um die Höhe und den Winkel einer 🪜 an einer Wand zu bestimmen kann man die trigonometrischen Funktionen Sinus Cosinus und Tangens verwenden. Hier sind zwei Beispiele:
1. Beispiel: Eine 7⸴10m lange Leiter ist am Boden 3⸴30m von der Wand entfernt. Man möchte die Höhe der Leiter an der Mauer und den Winkel zwischen Leiter und Boden berechnen.
Zuerst erstellen wir eine Skizze des Dreiecks » das durch die Leiter « die Wand und den Boden entsteht. Dann tragen wir die bekannten Größen ein, nämlich die Länge der Leiter (7,10m) und den Abstand des Fußes der Leiter von der Wand (3,30m).
Da wir die Höhe der Leiter und den Winkel berechnen möchten, können wir den Sinus und den Cosinus verwenden. Der Sinus des Winkels ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse, also Höhe/Leiterlänge und der Cosinus ist definiert als das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse, also Abstand zur Wand/Leiterlänge.
Wir setzen die bekannten Werte in die entsprechenden trigonometrischen Funktionen ein und erhalten:
Sinus des Winkels = Höhe/Leiterlänge = x/7,10
Cosinus des Winkels = Abstand zur Wand/Leiterlänge = 3⸴30/7,10
Um nun die Höhe der Leiter an der Mauer zu berechnen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung vom Sinus mit 7⸴10:
Höhe = Sinus des Winkels Leiterlänge = (x/7,10) 7⸴10 = x
Die Höhe der Leiter an der Mauer beträgt also x.
Um den Winkel zwischen Leiter und Boden zu berechnen können wir den Arkustangens verwenden. Durch Umstellen der Gleichung vom Cosinus erhalten wir:
Winkel = Arkustangens(Cosinus des Winkels) = Arkustangens(3,30/7,10)
Wenn wir diese Berechnungen durchführen, erhalten wir für die Höhe der Leiter an der Mauer 6⸴30m und für den Winkel zwischen Leiter und Boden 62°.
2. Beispiel: Ein 75m hoher Schornstein wirft einen 70m langen Schatten. Wir möchten den Winkel berechnen unter dem die Sonnenstrahlen auf den ebenen Boden treffen.
Hier haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Schornstein als Höhe und dem Schatten als Ankathete. Wir suchen den Winkel – der vom Schatten und der Höhe eingeschlossen wird.
Wir können den Tangens verwenden, da uns die Gegenkathete (Höhe) und die Ankathete (Schatten) bekannt sind. Der Tangens ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete.
Wir setzen die bekannten Werte in die entsprechende trigonometrische Funktion ein und erhalten:
Tangens des Winkels = Höhe/Schatten = 75/70
Um den Winkel zu berechnen, verwenden wir den Arkustangens:
Winkel = Arkustangens(Tangens des Winkels) = Arkustangens(75/70)
Wenn wir diese Berechnung durchführen, erhalten wir einen Winkel von 0⸴47°.
In beiden Beispielen haben wir mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens die gesuchten Höhen und Winkel berechnet. Es ist wichtig die passende trigonometrische Funktion auszuwählen, abhängig von den bekannten Größen im Dreieck.
Berechnung von Höhe und Winkel mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens
Wie kann man mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens die Höhe und den Winkel einer Leiter an einer Wand bestimmen?