Im Folgenden behandeln wir die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A – hierbei handelt es sich um die Frage ebenso wie wahrscheinlich es ist bei zwei Würfen eines fairen Würfels entweder doppelt gerade oder doppelt ungerade Augenzahlen zu erhalten. Es ist ein einfach zu verstehendes Konzept allerdings die Nuancen sind entscheidend. Zunächst einmal – beim ersten Wurf ist hundertprozentig klar, dass eine gerade oder eine ungerade Augenzahl fällt. Dies ist grundlegend.
Beim zweiten Wurf ist die Sache anders. Hier beträgt die Wahrscheinlichkeit ´ eine gerade oder ungerade Zahl zu würfeln ` jeweils 50 Prozent. Jeder Wurf geschieht unabhängig. Aus diesen Überlegungen ergibt sich die Rechnung: Die Wahrscheinlichkeit für zwei gerade oder zwei ungerade Augenzahlen beträgt 1/2 für den ersten Wurf und nochmals 1/2 für den zweiten Wurf – das ergibt pA = 1/2 * 1/2 = 1/4 oder 25%.
Ein fairer Würfel ist ein schönes Beispiel für Chancengleichheit. Sechs Augenzahlen stehen zur Auswahl. Davon sind drei gerade (2, 4⸴6) und drei ungerade (1, 3⸴5). Statistisch betrachtet ist es also ebendies genauso viel mit wahrscheinlich, eine gerade oder eine ungerade Zahl zu würfeln – 50 Prozent. Dies zeigt der einfache Bruch 1/2 an.
Um unsere Überlegungen vollständig zu machen, sollten wir ebenfalls gemischte Ergebnisse berücksichtigen. Hierbei muss man beachten, dass die Wahrscheinlichkeit, einmal eine gerade und einmal eine ungerade Zahl zu würfeln, ähnlich wie 1/4 ergibt. Der Ansatz bleibt dabei unverändert: pB = 1/2 * 1/2 = 1/4 für die gemischten Zahlen.
Die aktuellen Zahlen sind auch zu beachten. Direkte Rechnungen reichen hier nicht. Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Ereignisse – nur gerade, nur ungerade und auch gemischt – sollten addiert werden. Da die Ereignisse A (alles gleich) und B (alles gemischt) disjunkt sind, bleibt es überschaubar: P = pA + pB = 1/4 + 1/4 = 1/2. Damit sehen wir in gesamten Betrachtungsweise, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahlen entweder alle gerade oder alle ungerade sind, 25%, während die zur Verwendung gemischte Augenzahlen bei 50% liegt.
Es gibt eine interessante physikalische Anmerkung. Das Gleichgewicht von Würfeln spielt zwar eine Rolle – bei wiederholter Betätigung und unterschiedlichen Oberflächen könnte die Gewichtung möglicherweise das Resultat beeinflussen. Der Schwerpunkt des Würfels könnte von der Erwartungen abweichen. Der Würfel kann also in der Drehung manchmal für eine ungleiche Verteilung sorgen. Dennoch sind wir hier auf der theoretischen Ebene und die Würfelverteilung bleibt ein stabiler Aspekt.
Zusammenfassend ist zu verdeutlichen: Bei zwei Würfen eines fairen Würfels können wir feststellen: Die Wahrscheinlichkeit für zweimal gerade oder zweimal ungerade Augenzahl 25% beträgt. Der Rest, gemischte Zahlen ist logischerweise 50%. Dies sind einfache jedoch starke Mechanismen der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Wahrscheinlichkeit für gerade oder ungerade Augenzahl bei zweimaligem Wurf eines fairen Würfels
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für gerade oder ungerade Augenzahlen bei zwei Würfen eines fairen Würfels?