Lösen lgs

LÖSEN von LGS?

Nun zum Gaußschen Eliminationsverfahren bezogen auf dein Beispiel. Das Verfahren ist relativ simpel und idiotensicher, weil man immer nach demselben Schema F vorgeht. Das GE-Verfahren beruht auf dem Additionsverfahren, was bei größeren LGS, wie z.B. mit mehr als 4 Gleichungen und 4 Unbekannten besser und unkomplizierter ist als die Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren. Im Prinzip muss man immer eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren und mit einer anderen Gleichung addieren, sodass von immer eine Unbekannte mehr wegfällt, bis du eine Gleichung mit nur einer Unbekannten hast, welche du dann ausrechnen kannst und Schritt für Schritt in die anderen Gleichungen einsetzen kannst.
Bei der Rechnung wird es hoffentlich deutlicher.
Zunächst ist die zweite Gleichung trivial. Nach a aufgelöst, ergibt sie a = -1. Es fehlen nur noch 3 Unbekannte mit den drei Gleichungen:
a + 2b - 3c + 5d = 9
4b - c + d = 11
8b - 2d = 22
Wobei wir schon mal -1 für a in einsetzen können, woraus folgt:
2b - 3c + 5d = 10
Besser ist es, wenn du das LGS in Matrixform aufschreibst. Die Spalten stehen dann für die Unbekannten b, c, d und die rechte Seite der Gleichungen und die Zeilen stehen für die einzelnen Gleichungen.
2 -3 5 | 10
4 -1 1 | 11
8 0 -2 | 22
Und nun zum eigentlichen GE-Verfahren. Die Matrix wollen wir in die Dreiecksform bringen, d.h. unter der Hauptdiagonalen sollen nur Nullen stehen, sodass wir zuerst d aus der 3. Zeile herausbekommen, dann in die 2. Zeile einsetzen und c herausbekommen können und dann in die 1. Zeile einsetzen und b herausbekommen können. Dazu müssen wir immer eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren und mit einer anderen Gleichung addieren, sodass die andere Gleichung eine Unbekannte weniger hat. Z.B. multiplizieren wir zuerst die 1. Zeile mit -2 und addieren sie mit der 2. Zeile. Schauen wir mal was passiert:
2 -3 5 | 10 |*
4 -1 1 | 11
8 0 -2 | 22
-4 6 -10 | -20
Zuerst haben wir die 1. Zeile mit -2 multipliziert. Und jetzt addieren wir diese mit der 2. Zeile:
-4 6 -10 | -20
+ 4 -1 1 | 11
--
0 5 -9 | -9
Wie du siehst, ist b weggefallen. Das Ergebnis verwenden wir als neue 2. Zeile, sodass die Matrix wie nun folgt aussieht:
2 -3 5 | 10
0 5 -9 | -9
8 0 -2 | 22
Jetzt muss in der 3. Zeile die 8 irgendwie zur 0 werden, dann ist die Dreiecksform fertig. Wir müssen also wieder eine Zeile mit einer Zahl multipizieren und dann mit der 3. Zeile addieren, sodass die 8 wegfällt. Dazu bietet sich hier wieder die 1. Zeile an. Wenn wir die erste Zeile mit -4 multiplizieren, wird aus der 1. Spalte der 1. Zeile 2 * = -8. Also nochmal Schritt für Schritt:
2 -3 5 | 10 |*
0 5 -9 | -9
8 0 -2 | 22
-8 12 -20 | -40
Zuerst haben wir die 1. Zeile mit -4 multipliziert. Und jetzt addieren wir diese mit der 3. Zeile:
-8 12 -20 | -40
+ 8 0 -2 | 22
--
0 12 -22 | 18
Nun ist wieder b weggefallen. Aber dafür ist c wieder aufgetaucht, wobei es vorher weg war. Das macht aber erst nichts. Das bekommen wir auch wieder weg. Die neue Matrix lautet:
2 -3 5 | 10
0 5 -9 | -9
0 12 -22 | 18
Nun muss die 12 in der 3. Zeile zur 0 werden. Gleichzeitig darf aber nicht wieder b in der 3. Zeile ungleich 0 werden. Wenn wir die 1. Zeile mit einer Zahl multiplizieren und dann mit der 3. Zeile addieren würden, wäre die 1. Spalte der 3. Zeile wieder ungleich 0. Wenn wir aber die 2. Zeile mit der 3. addieren, dann bleibt b in der 3. Zeile 0, weil b in der 2. Zeile auch 0 ist und bleibt, egal womit wir die 2. Zeile multiplizieren. Mit was müssen wir die 2. Zeile multiplizieren, damit bei der Addition mit der 3. Zeile aus der 12 eine 0 wird? Dazu muss die 2. Spalte der 2. Zeile -12 werden, also multiplizieren wir die 2. Zeile mal mit -12/5 und addieren sie danach mit der 3. Zeile.
2 -3 5 | 10
0 5 -9 | -9 |*
0 12 -22 | 18 |+2.Zeile
2 -3 5 | 10
0 5 -9 | -9
0 0 -2/5 | 198/5
In der 1. Zeile sind

In der 1. Zeile sind 3 Unbekannte, in der 2. Zeile sind 2 Unbekannte und in der 3. Zeile ist nur eine Unbekannte. Das ist die Dreiecksform.
Dann kannst du dich von unten nach oben durcharbeiten. Transformieren wir aber zunächst die Matrixschreibweise wieder zurück in die normale Schreibweise mit Gleichungen.
2b -3c + 5d = 10
5c - 9d = -9
- d = 198/5
Dann fangen wir erst an, in der 3. Gleichung nach d aufzulösen. Die Gleichung also mit -5/2 multiplizieren.
- d = 198/5 |*
d = -99
Jetzt d in die 2. Gleichung einsetzen und nach c auflösen:
5c - 9* = -9
5c = 882 |*
c = 176,4
Und jetzt c und d in die 1. Gleichung einsetzen und nach b auflösen:
2b -3*176,4 + 5* = 10
2b - 529,2 - 495 = 10
2b = 1034,2
b = 517,1
Und damit lauten alle gelösten Unbekannten:
a = -1
b = 517,1
c = 176,4
d = -99
Zur Probe setzen wir alles nochmal in eine Gleichung ein, z.B. Gleichung :
a + 2b - 3c + 5d = 9
-1 + 2*517,1 - 3*176,4 + 5* = 9
Alles richtig

Bei mir hat sich mitten in der Rechnung ein Vorzeichenfehler eingeschlichen, sodass alle Folgerechnungen falsch sind. Falls dich die richtigen Lösungen interessieren:
a = -1
b = 1/2
c = -18
d = -9

Ich muss dich enttäuschen, aber irgendwo in deinem Aufsatz hat sich ein Fehler eingeschlichen. "a" ist korrekt, die anderen 3 Werte jedoch nicht
Weiterhin sind Matrizen für die meisten Schüler am Anfang etwas Unbegreifliches - ich würde sie dementsprechend nach Möglichkeit bei Erklärungen meiden.

Mist. Das kann schon mal passieren, wenn man eine ellenlange Antwort schreibt, die noch ergänzt werden muss, weil das Zeichenlimit erreicht wurde. Na ja, wenigstens ist hoffentlich das Prinzip klar geworden. Und jetzt begebe ich mich auf Fehlersuche.

Ach verdammt, Vorzeichenfehler. In der Matrix:
2 -3 5 | 10
0 5 -9 | -9
0 12 -22 | 18
habe ich 18 statt -18 geschrieben. Das müsste der Fehler sein, wenn ich nicht noch mehrere entdecke.

Und dann sagte ich "Das Verfahren ist idiotensicher". Solange sich natürlich kein Fehlerteufel einschleicht

Jerry; normal hätte ich dir nicht geantwortet.
Nur weil du so entsetzlich den Schnabel auf reißt.
Ich werde ja immer für die Länge meiner Beioträge kritisiert.
Dafür kriege ich aber wenigstens etwas Richtiges raus.
Nochne Ankdote. Unser Englischlehrer hieß nicht Jerry wie du, sondern Johnny. Sein Wahlspruch
" Ich war besser in Mathematik wie die andern. Ich hab immer mehr raus gekriegt wie die. "
Hast du diese Anekdote verstanden?
Siehst doch; hier wird's knifflig. Da kneift der Ikro wieder.
Ach lass mich noch'n bissele lästern.
Mit dem Mann stimmt was nicht. So hat der Ikro neulich die Begriffe " Definitionsbereich " und " Wertemenge " verwechselt.
Ich weiß; der wollte uns nur prüfen, ob wir mehr können, als uns von ihm die Hausaufgaben machen zu lassen.
Hast du diese Anspielung auch verstanden?
Weil du beklagst dich ja, dass du meine Anekdoten nicht verstehst.

Hier kennst du den Witz vom " Vorzeichenfehler "?
Prof. Ikro steht auf dem Dach seines Chemie-Instituts; und vor Wut schmeißt er einen Ziegelstein runter.
Der Stein entschwebt gen Himmel; warum?
Vorzeichenfehler.

Komisch, gibt es hier mehrere Karl Egon.?

2 b - 3 c + 5 d = 9
- a + 5 = 6
4 b - c + d = 11
8 b - 2 d = 22 | : 2
ist einfach die Aussage a = Ferner ist zu kürzen:
2 b - 3 c + 5 d = 10
4 b - c + d = 11
4 b - d = 11 ===> d = 4 b - 11
22 b - 3 c = 65
8 b - c = 22 | * 3
Subtraktionsverfahren - 2 b = 1 ===> b = 1/2
Dann durch Einsetzen von in
c =
und aus
d =
Probe
a + 2 b - 3 c + 5 d =
= - 1 + 2/2 - 3 * + 5 * =
= 9 = 9 ; ok
4 b - c + d =
= 4/2 - - 9 =
= 9 + 2 = 11 ; ok
8 b - 2 d = 8/2 - 2 =
= 4 + 18 = 22 ; ok

Ich fang jetzt net noch mal an; ich seh grade:
Du kannst substituieren ß := 2

Sicher, dass bei -a +5 =6 kein Buchstabe fehlt?

Sobald ich hier fertig bin, erkläre ich dir das Gaußsche Eliminationsverfahren.