Im Bereich der Mathematik sind Funktionen und ihre Steigungen fundamentale Konzepte. Betrachten wir die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4 \). Ursprünglich ist die Aufgabe die Werte von \( x \) zu bestimmen, für die welche Steigung dieser Funktion, also die Ableitung, größer als 104 ist. Der erste Schritt beinhaltet die bildende Ableitung. Diese lautet \( f'(x) = 3x^2 - 6x - 1 \). Um die Bedingungen zu überprüfen, setzen wir \( f'(x) > 104 \).
Man denkt also, dass \( 3x^2 - 6x - 1 > 104 \) eine korrekte Ausgangsbasis ist. Doch hier beginnt die Verwirrung – diese Ungleichung wird oft nicht korrekt bearbeitet. Der nächste Schritt wäre die Ungleichung umzuformen. Wenn wir \( 104 \) subtrahieren, erhalten wir:
\[ 3x^2 - 6x - 1-104 > 0 \]
Das vereinfacht sich zu:
\[ 3x^2 - 6x - 105 > 0 \]
Hier sehen wir dass eine Fehlerquelle potenziell in der Umformung liegt. Bei der Lösung von quadratischen Ungleichungen wird das Anlegen eines Hilfswerts notwendig – ohne diesen kritischen Schritt findet man nicht häufig die korrekten Lösungen. Man könnte dann die Gleichung \( 3x^2 - 6x - 105 = 0 \) betrachten. Es folgt eine Anwendung der Mitternachtsformel:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
In unserem Fall ist \( a = 3 \), \( b = -6 \) und \( c = -105 \). Die Diskriminante berechnen wir also:
\[ (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-105) = 36 + 1260 = 1296 \]
Der nächste Schritt involviert das Wurzelziehen:
\[ \sqrt{1296} = 36 \]
Die Lösungen für \( x \) sind:
\[ x_1 = \frac{6 + 36}{6} = 7 \quad und \quad x_2 = \frac{6 - 36}{6} = -5 \]
Was kommt nun als Nächstes? Hierbei ist die entscheidende Sache zu beachten: Das Vorzeichen des Parabelarms. Da \( a = 3 > 0 \), stellt die Funktion ⬆️ geöffnet dar. Die Intervalle für die Ungleichung \( 3x^2 - 6x - 105 > 0 \) sind dann außerhalb der Nullstellen. Das bedeutet:
\[ x < -5 \quad oder \quad x > 7 \]
Wenn wir also nun alles zusammenfassen sehen wir. Ein banales freilich notwendiges Detail ist das korrekte Wurzelziehen bei Ungleichungen. Während man bei Gleichungen oft in die Irre führen kann ´ ist die Argumentation bei Ungleichungen knallhart ` da sie direkte Auswirkungen auf die Richtung des Ungleichheitszeichens hat.
Zusammenfassend gesagt, herausgearbeitet wurde, dass für die Funktion \( f(x) \) die x-Werte, für die die Steigung größer als 104 ist – diese sind \( x < -5 \) und \( x > 7 \). Was bedeutet jetzt dies im praktischen Sinne? Mit diesen Werten hat man eine präzise Kenntnis wann die Funktion steil ansteigt oder gar einen extremen Punkt erreicht. So ist das mathematische Verständnis entscheidend um solche Probleme bestmöglich zu bewältigen.
Die Steigung komplexer Funktionen: Ein Schritt-für-Schritt-Guide zur Lösung von Ungleichungen
Wie findet man x-Werte, für die die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4 größer als 104 ist?