Rekonstruktion einer Funktion: Wie komme ich auf die Werte a=3/8, b=2 und c=3?

Um die Werte a=3/8, b=2 und c=3 für eine Parabel 4. Ordnung zu ermitteln – müssen die gegebenen Bedingungen genutzt werden. Diese sind:

1. O e=0
2. 2=16a-8b+4c-2d
3. f''(0) = 48a + 12b + 2c
4. f''(0) = d
5. f'-32a+12b-4c +d

Diese Bedingungen liefern insgesamt fünf Gleichungen die zur Verwendung die Berechnung der Unbekannten benötigt werden.

Zunächst kann Gleichung 1 genutzt werden um e zu eliminieren. Da O e=0, folgt daraus, dass O = 0.

Als nächstes kann Gleichung 4 verwendet werden um d zu eliminieren. Da f''(0) = d, kann d durch den Wert in Gleichung 3 ersetzt werden.

Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

1. O = 0
2. 2 = 16a - 8b + 4c - 2(f''(0))
3. f''(0) = 48a + 12b + 2c
4. f''(0) = f''(0)
5. f' - 32a + 12b - 4c + f''(0)

Um die Werte für a » b und c zu ermitteln « können nun die Gleichungen kombiniert und umgeformt werden.

Eine Möglichkeit besteht darin Gleichung 3 mit 4 zu subtrahieren. Dadurch ergibt sich die Gleichung f''(0) - f''(0) = (48a + 12b + 2c) - (48a + 12b + 2c) was zu 0 = 0 führt. Diese Gleichung enthält keinerlei Informationen über a b oder c und kann deshalb vernachlässigt werden.

Nun kann Gleichung 2 verwendet werden um den Wert von b in Abhängigkeit von a zu berechnen. Die Gleichung lautet:

2 = 16a - 8b + 4c - 2(f''(0))

Um b zu isolieren, kann die Gleichung umgeformt werden:

16a - 2(f''(0)) + 4c - 2-2 = 8b

Das führt zu:

8b = 16a - 2(f''(0)) + 4c - 2

Durch Division beider Seiten der Gleichung durch 8 ergibt sich:

b = 2a - 0⸴25(f''(0)) + 0⸴5c - 0⸴25

Damit ist der Wert von b in Abhängigkeit von a, f''(0) und c gegeben.

Nun kann Gleichung 5 verwendet werden um den Wert von c in Abhängigkeit von a, b und f''(0) zu berechnen. Die Gleichung lautet:

f' - 32a + 12b - 4c + f''(0) = 0

Um c zu isolieren, kann die Gleichung umgeformt werden:

f' - 32a + 12b + f''(0) = 4c

Durch Division beider Seiten der Gleichung durch 4 ergibt sich:

c = (f' - 32a + 12b + f''(0))/4

Damit ist der Wert von c in Abhängigkeit von a, b, f''(0) und f'''(0) gegeben.

Schließlich kann Gleichung 1 genutzt werden um den Wert von a zu berechnen. Da O = 0, folgt aus Gleichung 1:

0 = 16a - 8b + 4c - 2d

Durch Umformen und Einsetzen der vorher berechneten Werte für b und c ergibt sich:

0 = 16a - 8(2a - 0⸴25(f''(0)) + 0⸴5c - 0⸴25) + 4((f' - 32a + 12b + f''(0))/4) - 2d

Nun kann diese Gleichung nach a umgeformt und gelöst werden um den Wert von a zu erhalten. Hierbei kann die Distributivgesetz verwendet werden um die Gleichung weiter zu vereinfachen.

Nachdem der Wert von a bekannt ist können die Werte von b und c mithilfe der zuvor berechneten Abhängigkeiten ermittelt werden. Dazu müssen die Werte von f''(0) und f'''(0) bekannt sein.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Werte a=3/8, b=2 und c=3 für die Parabel 4. Ordnung mithilfe der gegebenen Bedingungen und entsprechenden Umformungen der Gleichungen ermittelt werden können.