Die mathematische Analyse einer Funktion 4. Ordnung ist komplex. Dennoch lässt sich die Lösung schrittweise erarbeiten. Zunächst benötigt man die fünf gegebenen Bedingungen um die Werte der Variablen a, b und c zu bestimmen:
1. O e=0
2. 2=16a-8b+4c-2d
3. f''(0) = 48a + 12b + 2c
4. f''(0)=d
5. f'-32a+12b-4c +d=0
Mit diesen Gleichungen ist der erste Schritt, e zu eliminieren und dies geschieht durch Gleichung 1. O wird zu 0. Das ist von Bedeutung für die folgenden Berechnungen.
Nehmen wir die vierte Gleichung: f''(0)=d. Weil d genauso viel mit der zweiten Ableitung an der Stelle 0 ist, wird diese in die Gleichung 2 eingefügt. Damit erhalten wir:
2 = 16a - 8b + 4c - 2(f''(0))
Im nächsten Schritt folgt die ursprüngliche Gleichung 3:
f''(0) = 48a + 12b + 2c.
Eine Subtraktion beider Gleichungen führt zu:
0 = (48a + 12b + 2c) - (48a + 12b + 2c).
Das bedeutet, hier gibt es keine neuen Informationen. Ein weiteres Vorgehen soll der Berechnung von b dienen - isoliert durch die umgestellte Gleichung 2.
Beachten wir, dass die Umformung ergibt:
8b = 16a - 2(f''(0)) + 4c - 2.
Daraus folgt, b kann als:
b = 2a - 0⸴25(f''(0)) + 0⸴5c - 0⸴25.
Ist dieser Schritt gelungen, geht es jetzt darum die letzte Gleichung zu betrachten. Nötig ist es b in die Gleichung 5 einzusetzen.
Nun handelt es sich um die nach c isolierte Gleichung:
f' - 32a + 12b + f''(0) = 4c.
Ein kürzerer Weg zeigt: c = (f' - 32a + 12b + f''(0))/4.
Diese Gleichung zeigt die Beziehung zwischen c, a, b und den Ableitungen f' und f''. Die Werte ´ die hier verwendet werden ` sind entscheidend für die finale Berechnung.
Jetzt geht es darum, a aufzulösen. Da O = 0, kann eine Umstellung zu:
0 = 16a - 8(2a - 0⸴25(f''(0)) + 0⸴5c - 0⸴25) + 4((f' - 32a + 12b + f''(0))/4) - 2d.
Durchführt man alle Einschränkungen und behebt die Variablen, können die Werte letztendlich bestimmt werden. Es folgt eine Vereinfachung der Gleichung mit Hilfe der bereits gewonnenen Werte für b und c.
Wenn der Wert von a erreicht wurde, müssen b und c durch die abgeleiteten Beziehungen ermittelt werden. Der ⭕ schließt sich mit diesen Werten.
Abschließend zeigt die Analyse der gegebenen Bedingungen, ebenso wie a=3/8, b=2 und c=3 für diese Parabel 4. Ordnung auf Basis der systematischen Herleitung und Lösung ermittelt werden. Mathematik erfordert Geduld und Klarheit jedoch sie führt zu klaren Antworten.