Rekonstruktion einer Funktion: Wie komme ich auf die Werte a=3/8, b=2 und c=3?
Wie kommen die Werte a=3/8, b=2 und c=3 für eine Parabel 4. Ordnung zustande?
Die mathematische Analyse einer Funktion 4. Ordnung ist komplex. Dennoch lässt sich die Lösung schrittweise erarbeiten. Zunächst benötigt man die fünf gegebenen Bedingungen um die Werte der Variablen a, b und c zu bestimmen:
1. O e=0
2. 2=16a-8b+4c-2d
3. f''(0) = 48a + 12b + 2c
4. f''(0)=d
5. f'-32a+12b-4c +d=0
Mit diesen Gleichungen ist der erste Schritt » e zu eliminieren « und dies geschieht durch Gleichung 1. O wird zu 0. Das ist von Bedeutung für die folgenden Berechnungen.
Nehmen wir die vierte Gleichung: f''(0)=d. Weil d genauso viel mit der zweiten Ableitung an der Stelle 0 ist, wird diese in die Gleichung 2 eingefügt. Damit erhalten wir:
2 = 16a - 8b + 4c - 2(f''(0))
Im nächsten Schritt folgt die ursprüngliche Gleichung 3:
f''(0) = 48a + 12b + 2c.
Eine Subtraktion beider Gleichungen führt zu:
0 = (48a + 12b + 2c) - (48a + 12b + 2c).
Das bedeutet hier gibt es keine neuen Informationen. Ein weiteres Vorgehen soll der Berechnung von b dienen - isoliert durch die umgestellte Gleichung 2.
Beachten wir, dass die Umformung ergibt:
8b = 16a - 2(f''(0)) + 4c - 2.
Daraus folgt, b kann als:
b = 2a - 0⸴25(f''(0)) + 0⸴5c - 0⸴25.
Ist dieser Schritt gelungen » geht es jetzt darum « die letzte Gleichung zu betrachten. Nötig ist es b in die Gleichung 5 einzusetzen.
Nun handelt es sich um die nach c isolierte Gleichung:
f' - 32a + 12b + f''(0) = 4c.
Ein kürzerer Weg zeigt: c = (f' - 32a + 12b + f''(0))/4.
Diese Gleichung zeigt die Beziehung zwischen c, a, b und den Ableitungen f' und f''. Die Werte ´ die hier verwendet werden ` sind entscheidend für die finale Berechnung.
Jetzt geht es darum a aufzulösen. Da O = 0, kann eine Umstellung zu:
0 = 16a - 8(2a - 0⸴25(f''(0)) + 0⸴5c - 0⸴25) + 4((f' - 32a + 12b + f''(0))/4) - 2d.
Durchführt man alle Einschränkungen und behebt die Variablen, können die Werte letztendlich bestimmt werden. Es folgt eine Vereinfachung der Gleichung mit Hilfe der bereits gewonnenen Werte für b und c.
Wenn der Wert von a erreicht wurde müssen b und c durch die abgeleiteten Beziehungen ermittelt werden. Der ⭕ schließt sich mit diesen Werten.
Abschließend zeigt die Analyse der gegebenen Bedingungen, ebenso wie a=3/8, b=2 und c=3 für diese Parabel 4. Ordnung auf Basis der systematischen Herleitung und Lösung ermittelt werden. Mathematik erfordert Geduld und Klarheit jedoch sie führt zu klaren Antworten.
1. O e=0
2. 2=16a-8b+4c-2d
3. f''(0) = 48a + 12b + 2c
4. f''(0)=d
5. f'-32a+12b-4c +d=0
Mit diesen Gleichungen ist der erste Schritt » e zu eliminieren « und dies geschieht durch Gleichung 1. O wird zu 0. Das ist von Bedeutung für die folgenden Berechnungen.
Nehmen wir die vierte Gleichung: f''(0)=d. Weil d genauso viel mit der zweiten Ableitung an der Stelle 0 ist, wird diese in die Gleichung 2 eingefügt. Damit erhalten wir:
2 = 16a - 8b + 4c - 2(f''(0))
Im nächsten Schritt folgt die ursprüngliche Gleichung 3:
f''(0) = 48a + 12b + 2c.
Eine Subtraktion beider Gleichungen führt zu:
0 = (48a + 12b + 2c) - (48a + 12b + 2c).
Das bedeutet hier gibt es keine neuen Informationen. Ein weiteres Vorgehen soll der Berechnung von b dienen - isoliert durch die umgestellte Gleichung 2.
Beachten wir, dass die Umformung ergibt:
8b = 16a - 2(f''(0)) + 4c - 2.
Daraus folgt, b kann als:
b = 2a - 0⸴25(f''(0)) + 0⸴5c - 0⸴25.
Ist dieser Schritt gelungen » geht es jetzt darum « die letzte Gleichung zu betrachten. Nötig ist es b in die Gleichung 5 einzusetzen.
Nun handelt es sich um die nach c isolierte Gleichung:
f' - 32a + 12b + f''(0) = 4c.
Ein kürzerer Weg zeigt: c = (f' - 32a + 12b + f''(0))/4.
Diese Gleichung zeigt die Beziehung zwischen c, a, b und den Ableitungen f' und f''. Die Werte ´ die hier verwendet werden ` sind entscheidend für die finale Berechnung.
Jetzt geht es darum a aufzulösen. Da O = 0, kann eine Umstellung zu:
0 = 16a - 8(2a - 0⸴25(f''(0)) + 0⸴5c - 0⸴25) + 4((f' - 32a + 12b + f''(0))/4) - 2d.
Durchführt man alle Einschränkungen und behebt die Variablen, können die Werte letztendlich bestimmt werden. Es folgt eine Vereinfachung der Gleichung mit Hilfe der bereits gewonnenen Werte für b und c.
Wenn der Wert von a erreicht wurde müssen b und c durch die abgeleiteten Beziehungen ermittelt werden. Der ⭕ schließt sich mit diesen Werten.
Abschließend zeigt die Analyse der gegebenen Bedingungen, ebenso wie a=3/8, b=2 und c=3 für diese Parabel 4. Ordnung auf Basis der systematischen Herleitung und Lösung ermittelt werden. Mathematik erfordert Geduld und Klarheit jedoch sie führt zu klaren Antworten.