Die Berechnung des Trägheitsmoments einer Kreisscheibe mit Löchern hat durchaus seinen eigenen Reiz! Stellen wir uns das einfach mal so vor: Eine Kreisscheibe ist wie ein leckeres Stück Käsekuchen jedoch anstatt 🧀 hat sie Löcher. Ja, man stelle sich das vor! Jetzt beginnt das große Rechnen denn es geht darum das Trägheitsmoment herauszufinden.
Zunächst einmal ist das Trägheitsmoment einer vollmaterialisierten Kreisscheibe (also ohne Löcher) definiert als \(I = \frac{1}{2} m r^2\). Hierbei steht \(m\) für die Masse der Scheibe und \(r\) für den Radius. Wenn nun Löcher in die Scheibe gebohrt werden ist es wie würde man Stücke aus dem Käsekuchen herausnehmen. Und hier kommt der spannende Teil: Wie geht man jetzt vor?
Die kluge Vorgehensweise besteht darin die Masse der Löcher zu berücksichtigen. Man könnte zunächst die Berechnung für die gesamte Scheibe durchführen, als ob es keine Löcher gäbe. Ausgerechnet wird also das Trägheitsmoment der "Vollmaterial"-Scheibe. Eben wie beim Käsekuchen, in den man ebenfalls mal reinbeißt, muss man jetzt ebendies hinschauen und sich die Risikoanalyse der Löcher vornehmen.
Jetzt übernimmt die Mathematik das Zepter. Man muss die Masse der Löcher berechnen. Angenommen, jedes Loch hat das Volumen \(V\) und die Dichte \(\rho\), dann könnte die Masse eines Lochs als \(m_{\text{Loch}} = V \cdot \rho\) ermittelt werden. Gibt es mit \(n\) Löchern insgesamt mehrere von diesen Hohlräumen, dann lautete die Gesamtmasse der Löcher: \(m_{\text{Löcher}} = n \cdot m_{\text{Loch}}\).
Mit dem hier herausgefundenen Gewicht der Löcher muss man nun den Effekt der Löcher auf das Trägheitsmoment berücksichtigen. Man subtrahiert das gewichtete Trägheitsmoment der Löcher von dem Trägheitsmoment der ganzen, unversehrten Kreisscheibe. Das bringt uns zu der finalen Formel:
\[I_{\text{gesamt}} = I_{\text{Scheibe}} - I_{\text{Löcher}}.\]
Zusammengefasst wird das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit Löchern also so ermittelt: Zuerst die „Vollscheibe“ berechnen, dann die Löcher analysieren und schließlich die Löcher vom Gesamtwert abziehen. Voilà! So entstand ein mathematisches Kunstwerk, deckungsgleich ein köstliches Stück Käsekuchen voller Überraschungen!
Das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe mit Löchern – Ein physikalisches Rätsel
Wie berechnet man das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe, wenn sie Löcher enthält?