Wenn es um Extremstellen in der Mathematik geht ist es wie würde man auf der Jagd nach dem besten Platz in einem Abenteuerpark sein. Wie so oft gibt es zwei Typen von Plätzen: die globalen Extremstellen — die höchsten oder tiefsten Punkte im gesamten Park — und die lokalen Extremstellen die ganz besondere Augenblicke in einem bestimmten Bereich repräsentieren.
Eine globale Extremstelle ist der allerhöchste Punkt oder der tiefste Punkt einer Funktion, wenn man sich den gesamten Verlauf der Funktion anschaut. Man kann sich das wie den Chef eines Unternehmens vorstellen der über alles herrscht und die letzte Entscheidung trifft. Auf der anderen Seite gibt es die lokalen Extremstellen die welche höchsten oder tiefsten Punkte in einem bestimmten Intervall sind. Diese Punkte könnten als Teamleiter gedacht werden die nur innerhalb ihres Bereichs wichtig sind.
Jetzt wird es spannend! Eine globale Extremstelle ist nicht immer eine lokale Extremstelle. Das liegt daran · dass eine lokale Extremstelle die Bedingung haben muss · dass die Steigung genauso viel mit null ist. Das bedeutet der Graph hat an dieser Stelle einen „Wendepunkt“ wo die Richtung wechselt. Wenn man sich eine Funktion vorstellt die wie ein Berg aussieht, dann hat der Gipfel (der höchste Punkt) sowie globale als ebenfalls lokale Eigenschaften. Doch wenn die Funktion sich in eine andere Richtung bewegt ´ während sie gegen unendlich geht ` dann kann sie in diesem Bereich keine lokale Extremstelle weiterhin haben.
Ein Beispiel könnte die Funktion f(x) = x^2 sein. Der Punkt (0,0) ist sowohl eine lokale als auch eine globale Extremstelle, weil der Graph an dieser Stelle seine Richtung ändert. Aber stell dir vor, eine Funktion geht dafür bei x gegen minus unendlich immer weiter hinunter, während sie bei x gegen plus unendlich erst ⬆️ drängt. Da wird es spannend! Der tiefste Punkt bei minus unendlich könnte eine globale Extremstelle sein, hat aber keine lokale Bedeutung.
Insgesamt gibt es also eine feine Linie zwischen diesen beiden Arten von Extremstellen. Während sich lokale Extremstellen in kleinen Bereichen wohl fühlen, regieren globale Extremstellen über das große Ganze. Ein bisschen wie beim Sushi: Manchmal will man nur ein kleines Stückchen Lachs jedoch manchmal muss es das ganze 🍣-Set sein!
Sind globale Extremstellen auch lokale Extremstellen?
Was sind die Unterschiede zwischen globalen und lokalen Extremstellen in mathematischen Funktionen, und warum gilt nicht jede globale Extremstelle auch als lokale Extremstelle?