Unterschiede beim uneigentlichen Integral von Sinus- und Cosinusfunktionen

Okay, Leute, lasst uns das Ganze mal auseinandernehmen! Schauen wir uns die Sinus- und Cosinusfunktionen an. Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch während die Cosinusfunktion achsensymmetrisch ist. Wenn du das Integral im Bereich von -1 bis 1 betrachtest, gibt es Teilflächen mit unterschiedlichen Vorzeichen die sich aufheben, wenn du von -unendlich bis unendlich integrierst. Aber wie verhält es sich in diesem Fall mit dem uneigentlichen Integral?

Nun, bei der Sinusfunktion wird's interessant. Wenn du sie von -unendlich bis unendlich integrierst erhältst du keinen bestimmten Grenzwert weil sich die Funktionswerte ändern, wenn du die Grenzen erweiterst. Es ist einfach nicht möglich diesen Grenzwert zu bestimmen. Das Gleiche gilt für die Cosinusfunktion. Egal ´ ebenso wie oft du das Intervall erweiterst ` du bekommst immer unterschiedliche Ergebnisse. Kein fester Grenzwert in Sicht!

Aber Moment mal, gibt es nicht eine Möglichkeit, das Ganze mathematisch zu beweisen? Richtig! Schauen wir uns das uneigentliche Integral des Sinus an. Durch geschickte Umformungen gelangen wir zu dem Schluss: Dass das Integral von Sinus null ergibt. Hingegen schwankt das Integral von Cosinus zwischen -2 und 2, nimmt aber keinen festen Wert an. Das bedeutet – es divergiert. Kompliziert, oder?

Also um es kurz zu machen: Das Sinusintegral konvergiert zu null, während das Cosinusintegral divergiert. Egal ´ wie du es drehst und wendest ` diese beiden Funktionen lassen sich beim uneigentlichen Integral nicht so einfach vergleichen. Vielleicht gibt es irgendwann eine mathematische Lösung für dieses Problem jedoch bis dahin genießen wir einfach die Schönheiten der Sinus- und Cosinusfunktionen in ihrer vollen Unberechenbarkeit.