Die Berechnung von Flächen im Koordinatensystem kann herausfordernd sein. Insbesondere wenn es um den IV. Quadranten geht. Dieser Bereich ist durch positive x-Werte und negative y-Werte gekennzeichnet. Um die Fläche einer Funktion im IV. Quadranten zu ermitteln · die durch die beiden Koordinatenachsen begrenzt wird · ist das Integral der Funktion entscheidend.
Schauen wir uns die Funktion f(x) = 2sin(-2x) im Einzelnen an. Der IV. Quadrant wird durch x ≥ 0 definiert. Wir betrachten die Funktion die aufgrund ihrer Eigenschaften unterhalb der x-Achse verläuft und damit in den IV. Quadranten hineinragt. Bis zu einem bestimmten Punkt bewegt sich die Funktion von diesem Bereich hin zu den Koordinatenachsen.
Um das Integral zu bestimmen müssen wir den genauen Bereich festlegen. In unserem Fall ist dieser Bereich von x = 0 bis x = π/4. Der Grund: An diesem Punkt schneidet die Funktion die x-Achse, mittels welchem der IV. Quadrant klar umschlossen wird.
Die Funktion weist eine Amplitude von 2 auf. Sie besitzt eine Phasenverschiebung von π/4 und eine Inversion entlang der y-Achse was sie komplexer macht. Aber keine Sorge – mit dem richtigen Ansatz lässt sich das Integral berechnen.
Wir wenden die Substitutionsregel an. Setzen wir t = -2x, ergibt sich dt = -2dx. Damit wird das Integral identisch umgeschrieben zu:
∫(0 bis π/4) 2sin(t) * (-1/2) dt․
Ein bisschen Mathematik gefällig? Hier können wir die Integrationsregel für dauerhafte Faktoren abrufen:
-1/2 * ∫(0 bis π/4) 2sin(t) dt․
Das Integral der Sinus-Funktion -cos(t) führt uns zu folgender Rechnung:
-1/2 * (-cos(π/4) - (-cos(0))).
Ersetzen wir die Werte die wir kennen:
-1/2 * (-√2/2 - (-1)).
Das vereinfacht sich zu:
√2/4 - 1/2.
Der Schnittpunkt zwischen Funktion und x-Achse bringt eine weitere Herausforderung. Aber wir wissen, dass der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit einer Höhe von -1/2 und einer Basis von 1 beträgt:
(1/2) (1) (-1/2) = -1/4.
Jetzt wird es spannend. Die gesamte Fläche die den IV. Quadranten und die Funktion zwischen den Koordinatenachsen umschließt, berechnen wir indem wir den Flächeninhalt des Dreiecks abziehen. Somit haben wir:
√2/4 - 1/2 - (-1/4)
Das führt zu
√2/4 - 1/2 + 1/4 was schlussendlich ergibt:
√2/4 = 1/2 * √2.
Zusammenfassend beträgt die Fläche also 1/2 * √2. Diese methodische Herangehensweise ermöglicht es uns komplexe Funktionen im IV. Quadranten klar zu analysieren und die Fläche präzise zu bestimmen. Die Berechnung von Integralen ist dadurch nicht nur theoretisch wichtig, ebenfalls praktisch gewinnt sie zunehmend an Relevanz in vielen wissenschaftlichen und ingenieurtechnischen Bereichen.
Berechnung der Fläche im IV. Quadranten einer Funktion im Koordinatensystem
Wie berechnet man die Fläche einer Funktion im IV. Quadranten eines Koordinatensystems?