Um die Fläche einer Funktion im IV. Quadranten zu berechnen · die durch die beiden Koordinatenachsen umschlossen wird · müssen wir das Integral dieser Funktion über den entsprechenden Bereich berechnen.
In diesem Fall haben wir die Funktion f(x) = 2sin(-2x), obwohl dabei der IV. Quadrant x >= 0 ist. Um die Fläche zu berechnen ´ betrachten wir zuerst den Bereich ` über den wir das Integral nehmen wollen. Da es sich um den IV. Quadranten handelt, befindet sich die Funktion unterhalb der x-Achse und rechts von der y-Achse.
Um das Integral zu berechnen müssen wir den Bereich finden über den wir integrieren möchten. In diesem Fall ist der Bereich von x=0 bis x=π/4, da die Funktion bis zu diesem Punkt die x-Achse schneidet und den IV. Quadranten umschließt.
Die Funktion f(x) = 2sin(-2x) hat eine Amplitude von 2, eine Phasenverschiebung von π/4 und eine Umkehrung in der y-Richtung (-). Wenn wir das Integral dieser Funktion über den oben genannten Bereich nehmen ´ erhalten wir die Fläche ` die der IV. Quadrant und die Funktion zwischen den Koordinatenachsen umschließen.
Um das Integral zu berechnen können wir die Substitutionsregel verwenden. Wir setzen t = -2x und dt = -2dx. Das Integral wird dann zu:
∫(0 to π/4) 2sin(t) * (-1/2) dt
Dieses Integral kann mit der Integrationsregel für das Produkt von Konstanten und einer Funktion gelöst werden:
-1/2 * ∫(0 to π/4) 2sin(t) dt
Da das Integral der Sinus-Funktion -cos(t) ist, erhalten wir:
-1/2 * (-cos(π/4) - (-cos(0)))
-1/2 * (-√2/2 - (-1))
-1/2 * (-√2/2 + 1)
√2/4 - 1/2
Um die Fläche zu berechnen, ziehen wir nun den Flächeninhalt des Dreiecks zwischen den Koordinatenachsen und dem Schnittpunkt der Funktion mit der x-Achse ab. Dieser Flächeninhalt entspricht einem rechtwinkligen Dreieck, dessen beiden Seitenlängen durch die beiden Koordinatenachsen gegeben sind.
Die Fläche des Dreiecks ist (1/2) (1) (-1/2) = -1/4
Die gesamte Fläche die der IV. Quadrant und die Funktion zwischen den Koordinatenachsen umschließen ist also:
√2/4 - 1/2 - (-1/4)
√2/4 - 1/2 + 1/4
√2/4 = 1/2 * √2
Die Fläche beträgt also 1/2 * √2.
Berechnung der Fläche im IV. Quadranten einer Funktion im Koordinatensystem
Wie berechnet man die Fläche einer Funktion im IV. Quadranten, die durch die beiden Koordinatenachsen umschlossen wird?