Die Berechnung des Umfangs eines Dreiecks im Koordinatensystem kann sich als überraschend einfach erweisen. In diesem Koninteressieren wir uns für die Punkte A B und C die im Koordinatensystem gegeben sind. Dabei gibt es zwei grundsätzliche Ansätze. Der erste Ansatz besteht darin – die Abstände direkt aus dem Koordinatensystem heraus zu messen. Der zweite Ansatz verwendet die Koordinaten der Punkte um die Längen der Seiten zu berechnen.
Um den Umfang des Dreiecks ABC zu finden benötigt man die Längen der Seiten AB BC und CA. Hier kommt der Satz des Pythagoras ins Spiel. Dieser besagt unter anderem – dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate der beiden Katheten entspricht.
Um diesen Satz praktisch anzuwenden ist es erforderlich die Koordinaten der Punkte A, B und C zu nutzen. Du kannst eine der Seiten als Hypotenuse wählen. Für dieses Beispiel nehmen wir an die Seite BC sei die Hypotenuse. Somit betrachten wir die Seiten AB und AC als Katheten.
Angenommen die Koordinaten der Punkte lauten wie folgt: B(2, 3) und C(4, 1). Jetzt müssen wir ebenfalls den Punkt A betrachten. Sein Standort könnte hypothetisch bei A(0, 0) sein. Mit diesen Koordinaten geht es jetzt darum die entsprechenden Seitenlängen zu berechnen.
Die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem geschieht über die Formel des euklidischen Abstands:
d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)
Nun wenden wir diese Formel an.
Für die Seite AB ergibt sich folgende Rechnung:
AB = √((2-0)² + (3-0)²) = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13.
Um den Abstand AC zu ermitteln, gehen wir ähnlich vor:
AC = √((4-0)² + (1-0)²) = √(4² + 1²) = √(16 + 1) = √17.
Die Berechnung der Länge der Seite BC bleibt noch aus. Diesen Abstand muss man ähnlich wie mit der euklidischen Formel bestimmen. Dabei nutzen wir die Punktkoordinaten B(2, 3) und C(4, 1):
BC = √((4-2)² + (1-3)²) = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8.
Jetzt haben wir die Längen der Seiten AB, AC und BC wie folgt aufgelistet:
- AB = √13
- AC = √17
- BC = √8
Der nächste Schritt ist die Addition dieser Seitenlängen um den Umfang des Dreiecks ABC zu ermitteln. Das ergibt:
Umfang = AB + BC + CA = √13 + √17 + √8.
Die endgültige Berechnung des Umfangs ist dadurch ein einfacher Summenschritt und demonstriert die Anwendung mathematischer Grundsätze im Koordinatensystem. Indem wir die Koordinaten der Eckpunkte berücksichtigen können wir präzise die Abstände zwischen den Punkten bestimmen und so den Umfang erfolgreich berechnen.
In einer Welt in der mathematische Konzepte oft als komplex empfunden werden zeigt dieses Beispiel, dass grundlegende Geometrie und die Anwendung des Satzes des Pythagoras in der Tat zugängliche und wertvolle Werkzeuge sind.
Berechnung des Umfangs eines Dreiecks im Koordinatensystem
Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks, wenn dessen Eckpunkte im Koordinatensystem definiert sind?